Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Рассмотрим движение тела на участке АВ. На тело действуют тела: Земля и шероховатая поверхность. Принимая тело за материальную точку, покажем действующие на нее силы (рис. 2). Это сила G = mg – сила тяжести, нормальная составляющая реакции опорной поверхности N и сила трения скольжения Fтр, а также движущая сила Р.
Рисунок 2
Основное уравнение динамики имеет вид
Спроецируем его на оси координат АХ1 и АY1:
Из кинематики известно, что , следовательно:
Сила трения пропорциональна нормальному давлению:
Fтр = fN = fmgcos45º.
Тогда:
. (1)
- дифференциальное уравнение движения материальной точки на участке АВ, или
.
Разделим обе части уравнения на массу m:
– уравнение с разделяющимися переменными Vх и t. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt:
и проинтегрируем
. (2)
- первое общее решение уравнения (1)
Из кинематики известно, что , тогда
.
Разделим переменные х1 и t:
.
Проинтегрируем обе части уравнения:
.
или
. (3)
- второе общее решение уравнения (1).
Для определения произвольных постоянных интегрирования С1 и С2 воспользуемся начальными условиями задачи.
Запишем пределы измерения переменных на участке:
0 ≤ t ≤ τ; 0 ≤ x1 ≤ l; VA ≤ VX ≤ VB.
Здесь слева – начальные условия, справа – конечные.
Начальные условия: t = 0, х1 = 0, VХ = VА = 12 м/с.
Подставим эти начальные условия в уравнения (2) и (3):
откуда С1 = VА, С2 = 0.
Частные решения уравнения (1):
Первое уравнение характеризует закон изменения скорости тела на участке АВ