Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки,находящейся под действием постоянных сил
Груз М массой m начинает движение из точки D с начальной скоростью V0. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската.
Положение точки D задается величиной AD = s0, вектор начальной скорости направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q, направление которой задается углом γ; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f=0,1. Через τ с груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает в точку С.
Все возможные варианты траекторий движения груза в точку C показаны на рисунках.
Дано:
l=70м, α=150, γ=450, m=30кг, s0=20м, V0=30м/с, Q=10Н
Считая груз материальной точкой найти:
– точку (А или В) отрыва груза от плоскости;
– время τ движения груза по наклонной плоскости;
– скорость грузаVB (или VA) в момент отрыва;
– координаты xC, yC точки C приземления груза;
– время T движения груза в воздухе;
– скорость VC груза в точке падения.
Рис.1
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
точка отрыва груза от плоскости – точка В
время τ движения груза по наклонной плоскости - ;
скорость грузаVB в момент отрыва - ;
координаты xC, yC точки C приземления груза - ,;
время T движения груза в воздухе -;
скорость VC груза в точке падения - .
Решение
Изучение движения на участке АВ.
Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. (рис.2).
Изобразим груз в произвольном положении и покажем действующие на негосилы: силу тяжести груза , нормальную реакцию , заданную силу и силу трения скольжения .
В
А
α
s0
у1
х1
α
γ
D
Рис. 2
Составим дифференциальное уравнение движения груза вдоль оси Ах1.
(1)
Где ,
дифференциальное уравнение движения груза вдоль оси Ау1:
Так как тело движется вдоль оси Ах1 , то и уравнение примет вид:
Откуда
Тогда
И уравнение (1) можно записать в виде:
Или
Подставив исходные данные, получим:
(2)
Или
(3)
Интегрируя уравнение (3), получим:
(4)
(5)
Используем начальные условия:
.
Тогда из уравнения (4) получаем:
Из уравнения (5):
Подставляя найденные постоянные интегрирования в уравнения (4) и (5), получим уравнение скорости и уравнение движения материальной точки на участке АВ:
(6)
(7)
Предположим, что груз покидает плоскость в точке В
. В момент достижения грузом этой точки время движения груза принимает значение τ, а координата х1 становится равной l = 70 м. Подставляя эти значения в уравнение движения материальной точки (7), получаем
Или
Найдем корни этого квадратного уравнения:
Корни этого уравнения
и
Рассматриваем положительный корень этого уравнения: .
Это время соответствует достижению грузом точки B при движении по наклонной плоскости вниз (от точки D к В).
Для вычисления величины скорости при отрыве груза от наклонной плоскости выбираем момент времени :
Изучение движения на участке ВС.
Рассмотрим движение груза после отрыва от наклонной плоскости на участке ВС. Введем систему координат, начало которой совмещено с точкой В, как показано на рис.3.
Очевидно, что
Дифференциальные уравнения движения тела на данном участке:
у
В
α
С
х
d2=15м
H=5м
С
Е
К
Рис.3
Учитывая, что на участке ВС на тело действует лишь сила тяжести уравнения примут вид:
или
Интегрируем дважды оба уравнения:
В начальный момент движения по участку ВС тело находится в точке с координатами (0;0) и его скорость , следовательно :
Тогда
И уравнения движения и скорости точки примут вид:
Или с учетом известных данных получаем закон изменения проекций вектора скорости на оси координат и уравнения движения груза вдоль осей координат после отрыва:
определим момент времени TК, когда координата x примет значение равное ширине рва d2 = 15 м, т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
