Имеются данные о товарообороте и доходах населения

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.
Рисунок 1 – Поле корреляции
По графику можно сделать вывод, что данные подчинены линейной зависимостью. Выдвинем гипотезу о том, что данные подчинены линейной формой связи.
2. Рассчитаем параметры парных регрессий.
Линейная модель
Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений.
Таблица 2 – Расчет линейной зависимости
№п/п у x
1 282 326 106276,00 91932,00
2 265 310 96100,00 82150,00
3 241 295 87025,00 71095,00
4 180 219 47961,00 39420,00
5 159 193 37249,00 30687,00
6 146 182 33124,00 26572,00
7 145 177 31329,00 25665,00
8 135 165 27225,00 22275,00
9 138 169 28561,00 23322,00
10 121 150 22500,00 18150,00
Сумма 1812 2186 517350 431268
.
Таким образом, уравнение линейной регрессии признаков x и y имеет вид: .
Квадратичная модель..
Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:
Необходима вспомогательная таблица расчетов:
Таблица 3 – Расчет квадратичной зависимости
№п/п y x
1 282 326 106276 34645976 11294588176 91932 29969832
2 265 310 96100 29791000 9235210000 82150 25466500
3 241 295 87025 25672375 7573350625 71095 20973025
4 180 219 47961 10503459 2300257521 39420 8632980
5 159 193 37249 7189057 1387488001 30687 5922591
6 146 182 33124 6028568 1097199376 26572 4836104
7 145 177 31329 5545233 981506241 25665 4542705
8 135 165 27225 4492125 741200625 22275 3675375
9 138 169 28561 4826809 815730721 23322 3941418
10 121 150 22500 3375000 506250000 18150 2722500
Сумма 1812 2186 517350 132069602 35932781286 431268 110683030
Получаем систему уравнений
Составим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при переменных a, b и c,
.
Вычислить этот определитель можно в Excel, воспользовавшись математической функцией МОПРЕД.
Далее составляем и вычисляем три вспомогательных определителя системы, ;
,
.
Находим параметры a, b и c соответственно по формулам
,
,
.
Таким образом, уравнение квадратичной регрессии признаков x и y имеет вид: .
Экспоненциальная модель.
Оценка параметров может быть найдена по решению системы уравнений:
.
При этом ,
Таблица 4 – Расчет экспоненциальной зависимости
№п/п y x
1 282 326 106276,00 5,64 1839,26
2 265 310 96100,00 5,58 1729,72
3 241 295 87025,00 5,48 1618,02
4 180 219 47961,00 5,19 1137,26
5 159 193 37249,00 5,07 978,30
6 146 182 33124,00 4,98 907,02
7 145 177 31329,00 4,98 880,88
8 135 165 27225,00 4,91 809,37
9 138 169 28561,00 4,93 832,71
10 121 150 22500,00 4,80 719,37
Сумма 1812 2186 517350,00 51,56 11451,89
Таким образом, уравнение экспоненциальной регрессии имеет вид: .
Полулогарифмическая модель .
Оценку параметров найдем по решению системы уравнений:
.
Таблица 5 – Расчет полулогарифмической зависимости
№п/п y x
1 282 326 5,79 33,49 1631,91
2 265 310 5,74 32,91 1520,19
3 241 295 5,69 32,34 1370,56
4 180 219 5,39 29,04 970,03
5 159 193 5,26 27,70 836,77
6 146 182 5,20 27,08 759,78
7 145 177 5,18 26,79 750,54
8 135 165 5,11 26,07 689,30
9 138 169 5,13 26,32 707,93
10 121 150 5,01 25,11 606,29
Сумма 1812 2186 53,49 286,84 9843,30
Получаем систему уравнений
.
Уравнение полулогарифмической регрессии имеет вид: .
Гиперболическая модель .
Параметры a и b находят, решая систему уравнений:
.
Таблица 6 – Расчет гиперболической зависимости
№п/п y x 1/ x y/ x
1 282 326 0,0031 0,00001 0,87
2 265 310 0,0032 0,00001 0,85
3 241 295 0,0034 0,00001 0,82
4 180 219 0,0046 0,00002 0,82
5 159 193 0,0052 0,00003 0,82
6 146 182 0,0055 0,00003 0,80
7 145 177 0,0056 0,00003 0,82
8 135 165 0,0061 0,00004 0,82
9 138 169 0,0059 0,00004 0,82
10 121 150 0,0067 0,00004 0,81
Сумма 1812 2186 0,05 0,0003 8,25
Система имеет вид:
.
Уравнение гиперболической регрессии имеет вид:.
3. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Индекс корреляции
Коэффициент детерминации: или
Линейная модель:
Таблица 7 – Расчет показателей линейной зависимости
№п/п y x
1 282 326 276,84 5,16 26,67 10160,64
2 265 310 262,59 2,41 5,82 7022,44
3 241 295 249,23 -8,23 67,76 3576,04
4 180 219 181,56 -1,56 2,42 1,44
5 159 193 158,40 0,60 0,36 492,84
6 146 182 148,61 -2,61 6,81 1239,04
7 145 177 144,16 0,84 0,71 1310,44
8 135 165 133,47 1,53 2,34 2134,44
9 138 169 137,03 0,97 0,94 1866,24
10 121 150 120,11 0,89 0,78 3624,04
Сумма 1812 2186 276,84 5,16 26,67 10160,64
.
Связь весьма сильная.
Показывает, что 99,64 % изменений в уровне благосостояния объясняется занятостью.
Квадратичная модель:
Таблица 8 – Расчет показателей квадратичной зависимости
№п/п y x
1 282 326 279,31 2,69 7,21 10160,64
2 265 310 262,96 2,04 4,15 7022,44
3 241 295 248,03 -7,03 49,39 3576,04
4 180 219 178,20 1,80 3,23 1,44
5 159 193 156,56 2,44 5,97 492,84
6 146 182 147,74 -1,74 3,04 1239,04
7 145 177 143,81 1,19 1,43 1310,44
8 135 165 134,53 0,47 0,22 2134,44
9 138 169 137,59 0,41 0,17 1866,24
10 121 150 123,27 -2,27 5,15 3624,04
Сумма 1812 2186 1812,00 0,00 79,96 31427,60
Связь весьма сильная.
Показывает, что 99,75 % изменений в уровне благосостояния объясняется занятостью.
Экспоненциальная модель:
Таблица 9 – Расчет показателей экспоненциальной зависимости
№п/п y x
1 282 326 5,65 -0,01 0,00 0,24 284,13
2 265 310 5,58 0,00 0,00 0,18 263,98
3 241 295 5,51 -0,02 0,00 0,11 246,39
4 180 219 5,16 0,04 0,00 0,00 173,74
5 159 193 5,04 0,03 0,00 0,01 154,16
6 146 182 4,99 0,00 0,00 0,03 146,56
7 145 177 4,96 0,01 0,00 0,03 143,23
8 135 165 4,91 0,00 0,00 0,06 135,54
9 138 169 4,93 0,00 0,00 0,05 138,06
10 121 150 4,84 -0,04 0,00 0,13 126,51
Сумма 1812 2186 51,56 0,00 0,0049 0,8395 1812,30
Связь весьма сильная.
Показывает, что 99,41 % изменений в уровне благосостояния объясняется занятостью.
Полулогарифмическая модель:
Таблица 10 – Расчет показателей полулогарифмической зависимости
№п/п y x
1 282 326 270,93 11,07 122,61 10160,64
2 265 310 260,62 4,38 19,20 7022,44
3 241 295 250,46 -9,46 89,46 3576,04
4 180 219 189,43 -9,43 88,97 1,44
5 159 193 163,54 -4,54 20,64 492,84
6 146 182 151,52 -5,52 30,49 1239,04
7 145 177 145,82 -0,82 0,66 1310,44
8 135 165 131,43 3,57 12,72 2134,44
9 138 169 136,34 1,66 2,75 1866,24
10 121 150 111,91 9,09 82,64 3624,04
Сумма 1812 2186 1812,00 0,00 470,14 31427,60
Связь весьма сильная.
Показывает, что 98,5 % изменений в уровне благосостояния объясняется занятостью.
Гиперболическая модель:
Таблица 11 – Расчет показателей гиперболической зависимости
№п/п y x
1 282 326 264,17 17,83 317,95 10160,64
2 265 310 257,09 7,91 62,64 7022,44
3 241 295 249,75 -8,75 76,51 3576,04
4 180 219 197,12 -17,12 292,93 1,44
5 159 193 169,59 -10,59 112,23 492,84
6 146 182 155,58 -9,58 91,83 1239,04
7 145 177 148,64 -3,64 13,24 1310,44
8 135 165 130,26 4,74 22,51 2134,44
9 138 169 136,67 1,33 1,76 1866,24
10 121 150 103,14 17,86 318,99 3624,04
Сумма 1812 2186 1812,00 0,00 1310,58 31427,60
Связь весьма сильная.
Показывает, что 95,83 % изменений в уровне благосостояния объясняется занятостью.
4. Дадим с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Средний коэффициент эластичности для парной линейной регрессии:
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте занятости на 1человека благосостояние увеличивается на 1,07.
Средний коэффициент эластичности для квадратичной парной регрессии:
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте занятости на 1человека благосостояние увеличивается на 1,03.
Средний коэффициент эластичности для экспоненциальной парной регрессии:
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте занятости на 1человека благосостояние увеличивается на 1,05