Имеются данные 14 стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у)

Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
А) линейной:
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу

1 106 76 8056 11236 5776 81,58 -5,57696 7,338105
2 111 85 9435 12321 7225 86,68 -1,68125 1,977943
3 112 91 10192 12544 8281 87,70 3,29789 3,624055
4 119 90 10710 14161 8100 94,85 -4,84812 5,386798
5 124 91 11284 15376 8281 99,95 -8,95241 9,837813
6 124 91 11284 15376 8281 99,95 -8,95241 9,837813
7 116 102 11832 13456 10404 91,79 10,21446 10,01417
8 121 105 12705 14641 11025 96,89 8,110165 7,723967
9 125 106 13250 15625 11236 100,97 5,026732 4,7422
10 124 104 12896 15376 10816 99,95 4,047591 3,891914
11 135 105 14175 18225 11025 111,18 -6,18185 5,887477
12 130 108 14040 16900 11664 106,08 1,922441 1,780038
13 135 111 14985 18225 12321 111,18 -0,18185 0,16383
14 138 118 16284 19044 13924 114,24 3,755574 3,18269
Итого 1720 1383 171128 212506 138359 1383 0 75,38882
Среднее значение 122,8571 98,78571 12223,43 15179 9882,786 98,78571 – 5,38
9,226183 11,14309 – – – – – –
85,12245 124,1684 – – – – – –
σx2=x2-x2=15179-122,8572=85,122
σy2=y2-y2=9882,786-98,7862=124,168
b=y∙x-y∙xx2-x2=12223,43-122,857∙98,78615179-122,8572=1,021
a=y-b∙x=98,786-1,021∙122,857=-26,631
Получено уравнение регрессии: y=-26,631+1,021∙x
С увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1 ед. индексе промышленного производства возрастает в среднем на 1,021.
С помощью уравнения y=-26,631+1,021∙x найдем значения
y1= =-26,631+1,021∙106 = 81,58; y8= -26,631+1,021∙121= 96,89
y2= -26,631+1,021∙111= 86,68; y9= -26,631+1,021∙125 = 100,97
y3=-26,631+1,021∙112=87,70; y10= -26,631+1,021∙124=99,95
y4= -26,631+1,021∙119= 94,85; y11= -26,631+1,021∙135 = 111,18
y5=-26,631+1,021∙124 =99,95; y12= -26,631+1,021∙130 = 106,08
y6= -26,631+1,021∙124=99,95; y13= -26,631+1,021∙135= 111,18
y7= -26,631+1,021∙116 =91,79; y14= -26,631+1,021∙138= 114,24
Найдем значение Ai
Ai=yi-yiyi∙100%
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
A=1nAi=114∙75,38882%=5,38%
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 5,38% поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
rxy=b∙σxσy=1,021∙9,22611,143=0,845;
rxy2=0,714
Это означает, что 71,4% вариации индекса промышленного производства () объясняется вариацией фактора – индекс розничных цен на продукты питания.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:
Fфакт=rxy21-rxy2∙n-2=0,7141-0,714∙14-2=30,02
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как Fфакт=30,02>Fтабл.=4,75 , то уравнение регрессии признается статистически значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .
Определим случайные ошибки , , :
ma=Sост∙x2n∙σx
mb=Sостσx∙n
mrxy=1-rxy2n-2
Где Sост=Sост2=y-y2n-2=496,4112=6,43
ma=6,43∙21250614∙9,23=22,95
mb=6,439,23∙14=0,186
mrxy=1-0,71414-2=0,154
Тогда
ta=ama=-26,6322,95=-1,16
tb=bmb=1,020,186=5,48
trxy=rxymrxy=0,8450,154=5,48
Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:
tb=5,48>tтабл=2,18; trxy=5,48>tтабл=2,18
поэтому параметр и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Фактическое значение -статистики не превосходит табличное значение:ta=1,16<tтабл=2,18; поэтому параметр случайно отличается от нуля, а статистически не значим.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания составит: xp=138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
yp=-26,63+1,021∙138=114,24
Ошибка прогноза составит:
myp=Sост∙1+1n+xp-x2x-x2=6,43∙1+114+138-122,8621191,71=7,23
Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:
∆yp=tтабл∙myp=2,18∙7,23=15,75
Доверительный интервал прогноза:
γyp=yp±∆yp=114,24 ±15,75
γypmin=yp-∆yp=114,24-15,75=98,49
γypmax=yp+∆yp=114,24+15,75=130,00
Выполненный прогноз индекса промышленного производства является надежным () и находится в пределах от 98,49 до 130.
Б) степенной
Построение степенной модели регрессии.
Уравнение степенной модели имеет вид:
y=a∙xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+b∙lgx.
Обозначим: Y=lgy, X=lgx, A=lga.
Тогда уравнение примет вид: Y=A+b∙X
X Y Y∙X X2
Y2
yx

1 106 76 2,025 1,881 3,809 4,102 3,537 81,31 -5,31 6,98
2 111 85 2,045 1,929 3,946 4,183 3,723 86,33 -1,33 1,56
3 112 91 2,049 1,959 4,015 4,199 3,838 87,34 3,66 4,02
4 119 90 2,076 1,954 4,056 4,308 3,819 94,50 -4,50 5,00
5 124 91 2,093 1,959 4,101 4,382 3,838 99,69 -8,69 9,55
6 124 91 2,093 1,959 4,101 4,382 3,838 99,69 -8,69 9,55
7 116 102 2,064 2,009 4,147 4,262 4,034 91,41 10,59 10,38
8 121 105 2,083 2,021 4,210 4,338 4,085 96,57 8,43 8,03
9 125 106 2,097 2,025 4,247 4,397 4,102 100,74 5,26 4,96
10 124 104 2,093 2,017 4,223 4,382 4,068 99,69 4,31 4,14
11 135 105 2,130 2,021 4,306 4,538 4,085 111,33 -6,33 6,03
12 130 108 2,114 2,033 4,299 4,469 4,135 106,00 2,00 1,85
13 135 111 2,130 2,045 4,357 4,538 4,183 111,33 -0,33 0,30
14 138 118 2,140 2,072 4,434 4,579 4,293 114,56 3,44 2,92
Итого 1720 1383 29,234 27,886 58,249 61,061 55,579 1380,50 2,50 75,28
Ср