Грани пластины x=0 и x=7 поддерживаются при нулевой температуре

Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut'=5uxx'', 0<x<7, t>0,
(1)
Граничные условия
ux=0=0; ux=7=0,
(2)
Начальное условие
ut=0=u0x=T0=8 0<x<72 0, 72<x<7.
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' t=5X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 5Xx∙T(t)
T'(t)5T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к . левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+5λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X7⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X7=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X7=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X7=C2 sin7λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin7λ=0,
7λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk72, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkx7, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk't+5πk72Tkt=0,
Tk't+5π2k249Tkt=0,
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake-5π2k249t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Ake-5π2k249tsinπkx7.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (3)
ut=0=k=1∞Ak sinπkx7=u0(x).
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции u0(x) в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx7k=1∞
Ak=2707u0xsinπkx7dx=270728sinπkx7dx=167⋅7πk-cosπkx7072=
=-16πkcosπk2-1=-16πkcosπk2-1=16πk1-cosπk2.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=1∞16πk1-cosπk2e-5π2k249tsinπkx7.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=16πk=1∞1k1-cosπk2e-5π2k249tsinπkx7.