Элементы математической статистики

Объем выборки: n=4+7+13+24+27+16+6+3=100
Длина интервала: ∆x=2,5.
Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки xi* каждого интервала, строкой относительных частот min, строкой накопленных относительных частот j=1imin и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот hi=min∙∆x.
Таблица 1
i
1 2 3 4 5 6 7 8
1; 3,5 3,5; 6 6; 8,5 8,5; 11 11; 13,5 13,5; 16 16; 18,5 18,5; 21
4 7 13 24 27 16 6 3
xi*
2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75 17,25 19,75
min
0,04 0,07 0,13 0,24 0,27 0,16 0,06 0,03
j=1imin
0,04 0,11 0,24 0,48 0,75 0,91 0,97 1
hi=min∙∆x
0,016 0,028 0,052 0,096 0,108 0,064 0,024 0,012
2.1.1. Найти функцию распределения выборки Fn*x и построить ее график
Эмпирическая функция распределения Fn*x определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.
Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:
Fn*x=0,x≤2,250,04,2,25<x≤4,750,11,4,75<x≤7,250,24,7,25<x≤9,750,48,9,75<x≤12,250,75,12,25<x≤14,750,91,14,75<x≤17,250,97,17,25<x≤19,751x>19,75
График эмпирической функции распределения Fn*xизображен на рис . 1.
Рис. 1. График эмпирической функции распределения
2.1.2. Построить гистограмму относительных частот
На каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.
Рис. 2. Гистограмма относительных частот
2.1.3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее x и исправленную выборочную дисперсию s2
Выборочное среднее находим по формуле
:
x=1100i=18xi*mi=1100(2,25∙4+4,75∙7+7,25∙13+9,75∙24+12,25∙27++14,75∙16+17,25∙6+19,75∙3)=11
Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле
s2=199i=18xi*-x2mi=199[2,25-112∙4+4,75-112∙7+7,25-112∙13+9,75-112∙24+12,25-112∙27++(17,75-11)2∙16+17,25-112∙6+19,75-112∙3]≈2,65
2.1.4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности γ=0,94
При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
.
Используя таблицу значений функции Лапласа (приложение 1) находим
Φ-1γ=Φ-10,94=1,89
Тогда:
εγ=2,65100∙1,89≈0,308
Тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
Jγmx=11-0,308;11+0,308
или
Jγmx=10,692;11,308
2.1.5