Докажите, что если числа x и y взаимно простые, то НОД чисел x+y и x-y равен либо 1, либо 2

Так как числа х и у взаимно простые, то НОД (х; у) =1
Умножим эти числа на 2. Тогда наибольший общий делитель будет равен 2, то есть НОД (2х;2у) =2.
Представим числа в виде:
2х = (х + у) + (х - у)
2у = (х + у) - (х - у)
Тогда:
НОД (2х;2у) = НОД ((х + у) + (х - у), (х + у) - (х - у)) =2
Если НОД (х, у) = d, то существуют такие целые числа а и b, что имеет место равенство ах + bу = d