Доказать содержательную непротиворечивость аксиоматики поля. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по геометрии
Доказать содержательную непротиворечивость аксиоматики поля

Доказать содержательную непротиворечивость аксиоматики поля .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Доказать содержательную непротиворечивость аксиоматики поля. Является ли она дедуктивно полной? Множество 𝔽 с двумя операциями 𝔽 × 𝔽 → 𝔽: сложением (𝑎, 𝑏) ↦ 𝑎 + 𝑏 и умножением (𝑎, 𝑏) ↦ 𝑎𝑏 называется полем, если выполняются следующие три набора аксиом:

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Свойства сложения:
коммутативность: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 ∀ 𝑎, 𝑏∈𝔽
ассоциативность: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝔽
наличие нуля: ∃ 0∈𝔽 ∶ 𝑎 + 0 = 𝑎 ∀ 𝑎∈𝔽
наличие противоположных: ∀ 𝑎∈𝔽 ∃ (−𝑎)∈𝔽 ∶ 𝑎 + (−𝑎) = 0
Свойства умножения
коммутативность: 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 ∀ 𝑎, 𝑏∈𝔽
ассоциативность: 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐 ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝔽
наличие единицы: ∃ 1∈𝔽 ∶ 1 𝑎 = 𝑎 ∀ 𝑎∈𝔽
наличие обратных: ∀ 𝑎∈𝔽 ∖ 0 ∃ 𝑎 −ଵ∈𝔽 ∶ 𝑎𝑎−ଵ = 1
Свойства, связывающие сложение с умножением
дистрибутивность: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝔽
нетривиальность: 0 ≠ 1
Теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул (все формулы являются теоремами, «истинными высказываниями»), называется противоречивой . В противном случае теория называется непротиворечивой.
В теории поля заданы правила, и при соответствии высказывания этим правилам оно является теоремой, а при несоответствии – ложным высказыванием

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу