Доказать что заданные векторы a1 a2 a3 образуют базис в R3

Составим определитель из координат векторов a1, a2, a3 и вычислим его:
△=-135213351=-1*1*1-5*3-3*2*1-3*3+5*2*5-3*1=70
Так как △≠0, то векторы а, b, c линейно независимы и образуют базис.
Разложение вектора по векторам базиса имеет вид
a=x1a1+x2a2+x3a2
где x1,x2,x3 – координаты вектора a. Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:
-x1+3x2+5x3=-13,2x1+x2+3x3=-6,3x1+5x2+x3=5.
Решим систему по правилу Крамера . Главный определитель системы
△=-135213351=-1*1*1-5*3-3*2*1-3*3+5*2*5-3*1=70≠0
В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=△1△, x2=△2△,x3=△3△,
где △ – определитель системы, а △i – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, свободными членами (i=1,2,3).
Определитель системы нам известен, вычислим определители:
△1=-1335-613551=-13*1*1-5*3-3*-6*1-5*3+5*-6*5-5*1=70
△2=-1-1352-63351=-1*-6*1-5*3--13*2*1-3*3+5*2*5-3*-6=70
△3=-13-1321-6355=-1*1*5-5*-6-3*2*5-3*-6+-13*2*5-3*1=-210
Отсюда
x1=△1△=7070=1, x2=△2△=7070=1,x3=△3△=-21070=-3.
Решение системы x1=1, x2=1,x3=-3 образует совокупность координат вектора a в базисе a1, a2, a3, т.е