Доказать что игра имеет решение в чистых стратегиях

Учитываем то, что на наличие седловой точки (на решение в чистых стратегиях) не влияет перестановка местами либо строк, либо столбцов платежной матрицы.
Учитываем также понятие доминирования.
Известно, что некоторая чистая стратегия игрока X будет доминируемой, если все элементы соответствующей строки не превосходят (меньше или равны) соответствующих элементов какой-либо другой строки. Известно также, что некоторая чистая стратегия игрока Y будет доминируемой, если все элементы соответствующего столбца не меньше (больше или равны) соответствующих элементов какого-либо другого столбца. Доминируемые строки и столбцы можно из платежной матрицы исключить.
Из элементов первой строки a и e выберем наименьший . Пусть это будет элемент a. В противном случае таким элементом будет элемент e. Однако на процесс доказательства это не влияет, так как столбцы, начинающиеся с элемента a, совпадают со столбцами, начинающимися с элемента e, по второй и третьей строке.
Отметим также, что столбцы, содержащие элемент b, совпадают со столбцами, содержащими элемент f, по первой и третьей строкам. Аналогично, столбцы, содержащие элемент c, совпадают со столбцами, содержащими элемент g, по первой и второй строкам.
Таким образом, в соответствии с правилом доминирования, при рассмотрении любой из строк половину столбцов можно исключить.
В результате получаем следующую платежную матрицу:
Y1 Y3 Y5 Y7
X1 a a a a
X2 b b f f
X3 c g c g
Столбцы, начинающиеся с элемента a, содержат пары элементов b и c, b и g, f и c, f и g