Для заданной конструкции (рисунок 1) определить усилия в стержнях. Подобрать для растянутых стержней по два равнополочных уголка, для сжатых стержней по
2 не равнополочных уголка, если допускаемое напряжение при сжатии материала составляет 120 МПа, а при растяжении – 160 МПа.
Дано:
Схема 9; F = 140 кН; 𝛼 = 90º; 𝛽 = 110º; γ = 20º.
Рис.1. Схема 9.
Ответ
N1 = 83,48 кН - уголок № 4,5 (45х45х3 мм) по ГОСТ 8509-93,
N2 = - 199,90 кН - уголок № 7,5/5 (75х50х7 мм) по ГОСТ 8510-86.
Решение
Примечание. В условии задачи имеет наличие - ошибка, а именно: сумма углов треугольнике АВС должна быть равна (раздел планиметрии) 180º, а по условию задачи сумма только двух углов 𝛼 + 𝛽 = 90º + 110º = 200º уже больше. Самостоятельно принимаем, что угол 𝛽 = 110º/2 = 55º.
Мысленно вырезаем узел В и рассматриваем его равновесие. К узлу приложены продольные силы N1 и N2 , возникающие в стержнях 1 и 2, а также сила натяжения троса, которая численно равна силе F, т.е. S = F = 140 кН и направлена вдоль троса.
Предполагаем первоначально, что продольные силы в стержнях - растягивающие. Расчетная схема представлена на рис.1.1.
Рис.1.1. Расчетная схема.
В итоге мы имеем плоскую систему сходящихся сил, для которой можно составить два независимых уравнения равновесия, а именно:
ΣFix = 0, N2·cos𝛽 + S·cos(𝛽 - γ) = 0, (1)
ΣFiy = 0, N1 + N2·sin𝛽 + S·sin(𝛽 - γ) = 0, (2)
. Из уравнения (1), находим:
N2 = - S·cos(𝛽 - γ)/cos𝛽 = - F·cos(𝛽 - γ)/cos𝛽 = - 140· cos(55º - 20º)/cos55º =
= - 140·0,819/0,574 = - 199,90 кН, знак «минус» указывает на то, что в действительности стержень 2 - сжат, а не растянут.
Из уравнения (2), имеем:
N1 = - N2·sin𝛽 - S·sin(𝛽 - γ) = 199,90·sin55º - 140·sin55º - 20º) = 199,90·0,819 -
- 140·0,574 = 83,48 кН.
Для проверки правильности найденных продольных сил, найдем из значения в другой системе координатных осей (см. рис.1.2).
Рис.1.2. Расчетная схема для контроля.
Составляем уравнения равновесия в новых координатных осях Вх1 и Ву1.
ΣFix1 = 0, N2 + S·cosγ + N1·sin𝛽 = 0, (3)
ΣFiу1 = 0, - S·sinγ + N1·cos𝛽 = 0, (4). Из уравнения (4), находим:
N1= S·sinγ/cos𝛽 = F·sinγ/cos𝛽 = 140·sin20º/cos55º = 140·0,342/0,574 = 83,48 кН.
Из уравнения (3), получаем:
N2 = - (S·cosγ + N1·sin𝛽) = - (140·cos20º + 83,48·sin55º) = - 199,90 кН.
Результаты полностью совпадают и по величине и по знаку, следовательно расчеты проведены - правильно.
Стержень 1 - растянут, а стержень 2 - сжат.
Условие прочности при растяжении: σ1 = N1/A1 ≤[σр], отсюда находим требуемую площадь сечения стержня 1 (составленного из 2-х равнополочных уголков):
A1≥ N1/[σр] = 83,48·103/(160·106) = 5,22·10-4 м2 = 5,22 см2.
Требуемая площадь поперечного сечения уголка равна:
Ауг = A1/2 = 5,22/2 = 2,61 см2.
Из ГОСТ 8509-93 «Уголки стальные горячекатаные равнополочные », находим ближайший больший по площади номер уголка, в качестве которых можно принять:
уголок № 3,5, со толщиной стенки 4,0 мм, имеющий Ауг = 2,67 см2,
уголок № 4,5, со толщиной стенки 3,0 мм, имеющий Ауг = 2,65 см2.
Окончательно принимаем уголок № 4,5 (45х45х3 мм)
Условие прочности при сжатии: σ2 = N2/A2 ≤[σсж], отсюда находим требуемую площадь сечения стержня 1 (составленного из 2-х неравнополочных уголков):
A2≥ N2/[σсж] = 199,90·103/(120·106) = 16,66·10-4 м2 = 16,66 см2.
Требуемая площадь поперечного сечения уголка равна:
Ауг = A2/2 = 16,66/2 = 8,33 см2.
Из ГОСТ 8510-86
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
