Для выбранного варианта электрической цепи (рис. 2), требуется

1. Составляем уравнения по законам Кирхгофа
В схеме три узла (1, 2, 3, 4), шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов и решить её. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трем (количество узлов без единицы), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех неизвестных контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
I1-I2-I5=0-для узла 1-I4+I5+I6=0-для узла 2I2-I3-I6=0-для узла 3I1R1+I4R4+I5R5=E1-для контура II3R3-I4R4-I6R6=0-для контура II-I1R1-I2R2-I3R3=-E1-E2-для контура III
2. Решаем методом контурных токов
Рис.2.2. Схема к методу контурных токов
Составляем систему уравнений для контуров с контурными токами (рис.2.2) I11, I22, I33:
I11r1+r4+r5-I22r4-I33r1=E1-I11r4+I22r3+r4+r6-I33r3=0-I11r1-I22r3+I33r1+r2+r3=-E1-E2
После подстановки исходных данных имеем
34I11-16I22-2I33=80-16I11+53I22-21I33=0-2I11-21I22+28I33=-260
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
∆=37-16-2-1653-21-2-2128=37∙53∙28+-16∙-21∙-2+-16∙-21∙-2--2∙53∙-2--16∙-16∙28--21∙-21∙37=54908-672-672-212-7168-16317=29867
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=80-16-2053-21-260-2128=-31480
∆2=3780-2-160-21-2-26028=-171140
∆3=37-1680-16530-2-21-260=-407940
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-3148029867=-1,054 А
I22=∆2∆=-17114029867=-5,73 А
I33=∆3∆=-40794029867=-13,659 А
В соответствии с принятыми направлениями токов в ветвях на рис.2.2 определяем токи в ветвях:
I1=I11-I33=-1,054+13,659=12,605 А
I2=-I33=13,659 А
I3=I22-I33=-5,73+13,659=7,929 А
I4=I11-I22=-1,054+5,73=4,676 А
I5=I11=-1,054 А
I6=-I22=5,73 А
Отрицательное значение тока I5 указывает на то, что в действительности он будет направлен противоположно тому направлению, что обозначено на рис.2.2.
3 . Решаем методом узловых потенциалов
Потенциал узла 4 принимаем равным нулю. Тогда система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, в общем виде имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Подсчитываем проводимости ветвей
g11=1r1+1r2+1r5=12+15+119=0,75263 См
g22=1r4+1r5+1r6=116+119+116=0,17763 См
g33=1r2+1r3+1r6=15+121+116=0,31012 См
g12=g21=-1r5=-119=-0,05263 См
g13=g31=-1r2=-15=-0,2 См
g23=g32=-1r6=-116=-0,0625 См
Определяем значения узловых токов:
J11=E1r1-E2r2=802-1805=4 A
J22=0 A
J33=E2r2=1805=36 A
Подставляем полученные данные в составленную выше систему уравнений
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
После подстановки полученных значений имеем систему вида:
0,75263 φ1-0,05263φ2-0,2φ3=4-0,05263φ1+0,17763φ2-0,0625φ3=0-0,2φ1-0,0625φ2+0,31012φ3=36
Решаем методом Крамера как и в методе контурных токов
Находим
Определяем потенциалы
φ1=∆11∆=1,602070,02924=54,79036
φ2=∆22∆=2,187640,02924=74,81669
φ3=∆33∆=4,868370,02924=166,49692
Определяем токи в ветвях по рис.2.2:
I1=φ4-φ1+E1r1=0-54,79036+802=12,605 А
I2=φ1-φ3+E2r2=54,79036-166,49692+1805=13,659 А
I3=φ3-φ4r3=166,49692-021=7,928 А
I4=φ2-φ4r4=74,81669-016=4,676 А
I5=φ1-φ2r5=54,79036-74,8166919=-1,054 А
I6=φ3-φ2r6=166,49692-74,8166916=5,73 А
4.Сравним значения токов, вычисленными двумя методами
Значения токов I1
I2
I3
I4
I5
I6
Метод контурных токов 12,605
13,659
7,929
4,676
-1,054
5,73
Метод узловых потенциалов 12,605
13,659
7,928
4,676
-1,054
5,73
Вычисления совпадают.
5