Для табличной функции:
x
1 0,9 4 5 6,42
y
7,1 1,58 4 1 6
1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
3. Построить график многочлена.
Ответ
1) L4x=-0.67328x4+11.64322x3-69.12068x2+157.29158x-92.04084.
2) Экстремумы: x=1.9676±0.0001-максимум; x=4.7397±0.0001-минимум;
x=6.2626±0.0001-максимум;
корни: x=0.87379±0.00001; x=6,96114±0.00001
3) рис.2.
Решение
1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=7.1∙x-0.9x-4x-5x-6.421-0.91-41-51-6.42+1.58∙x-1x-4x-5x-6.420.9-10.9-40.9-50.9-6.42
+4∙x-1x-0.9x-5x-6.424-14-0.94-54-6.42+1∙x-1x-0.9x-4x-6.425-15-0.95-44-6.42+
+6∙x-1x-0.9x-4x-56.42-16.42-0.96.42-46.42-5.
После преобразований, получим
L4x=-0.67328x4+11.64322x3-69.12068x2+157.29158x-92.04084.
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=-2.6934x3+34.92967x2-138.24136x+157.29158.
L4''x=-8.07942x2+69.85934x-138.24136.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
L4'''x
0 157,2916 -138,2414 69,8593
1 51,2868 -76,4614 53,7005
2 -1,0176 -30,8403 37,5417
3 -15,7802 -1,3781 21,3828
4 -9,1600 11,9253 5,2240
5 2,6841 9,0699 -10,9348
6 3,5935 -9,9444 -27,0937
7 -22,5908 -45,1174 -43,2525
Т.к. на промежутках (1;2), (4;5) и (6;7) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню
. Причем корень на промежутках (1,2) и (6,7) – максимумы исходной функции (производная меняет знак с «+» на «-»), на промежутке (4;5), соответственно – минимум (производная меняет знак с «-» на «+»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=-16.15884x+69.85934.
L4'''x<0 при x∈1;2 и L4'''x>0 при x∈6;7.
На промежутке x∈4;5 вторая производная не сохраняет знак. Изменим границы
x∈4.5;5.5
x
L4'x
L4''x
L4'''x
4,5 -2,8810 12,5175 -2,8554
5,5 5,5156 1,5826 -19,0143
Следовательно, на промежутке x∈1;2 x0=1;на промежутке 4.5;5.5 x0=4.5; на промежутке x∈6;7 x0=7.
xn+1=xn--2.6934xn3+34.92967xn2-138.24136xn+157.29158-8.07942xn2+69.85934xn-138.24136.
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 51,2868 -76,4614
1 1,670753 11,2675 -44,0767 0,670753
2 1,926386 1,3555 -33,6477 0,255633
3 1,966671 0,0313 -32,1005 0,040285
4 1,967645 0,0000 -32,0635 0,000974
5 1,967645 0,0000 -32,0635 0,000001
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 4,5 -2,8810 12,5175
1 4,730160 -0,1085 11,4323 0,230160
2 4,739648 -0,0003 11,3692 0,009488
3 4,739674 0,0000 11,3690 0,000026
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 7 -22,5908 -45,1174
1 6,499288 -5,0839 -25,4860 0,500712
2 6,299810 -0,6782 -18,7935 0,199478
3 6,263724 -0,0207 -17,6515 0,036086
4 6,262553 0,0000 -17,6148 0,001171
5 6,262552 0,0000 -17,6148 0,000001
Получаем: x=1.9676±0.0001-максимум; x=4.7397±0.0001-минимум;
x=6.2626±0.0001-максимум.
Найдем корни многочлена
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
