Для стальной балки подобрать поперечное сечение в нескольких вариантах

Представим схему нагружения:
Определение реакции опор:
представим расчетную схему:
Составим два уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и С:
MAi=-M0-qca+c2+RCa+c=0MCi=-M0+qc22+RAa+c=0
RA=M0-qc22a+c=40-35∙1,2220,8+1,2= 7,4 кН RC=40+35∙1,2∙0,8+1,220,8+1,2=49,4 кН
Проверка:
Fyi=-RA-qc+RC=0 → -7,4-35∙1,2+49,4=0 →
→-49,4+49,4=0 → 0≡0-все верно
Итак, для дальнейшего расчета примем:
RA=7,4 кН и RC=49,4 кН
Определение внутренних усилий.
внутренние усилия:
Q-поперечная сила Mх-изгибающий момент
Разбиваем балку на 2-а участка: AB и BC.
рассмотрим каждый участок по – отдельности:
участок AB → 0≤х1≤a
составим аналитические выражения:
Q1=-RA Mх1=M0-RAх1
Q1=-RA=-7,4 кН-на всем участке
х1=0 →Mх1A=M0=40 кН∙м х1=a →Mх1B=M0-RAa=40-7,4∙0,8=34,08 кН∙м
участок BC → 0≤х2≤c
составим аналитические выражения:
Q2=-RC+qх2 Mх2=RCх2-qх222
х2=0 →Q2C=-RC=-49,4 кН х2=c →Q2B=-RC+qc=-49,4+35∙1,2=-7,4 кН
х2=0 → Mх2C=0 х2=c → Mх2B=RCc-qc22=49,4∙1,2-35∙1,222=34,08 кН∙м
Выбирая масштаб, строим эпюры Q и Mх
Проектный расчет.
из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления:
σmax=MmaxWz≤σиз → Wz≥Mmaxσиз
для стали Ст4,согласно П2.4, стр.136→σиз=170 МПа=170 Нмм2
опасное сечение балки лежит в точке А, здесь:
Mmax=Mх1A=40 кН∙м=40∙106 Н∙мм
Wz≥40∙106170≈235294 мм3=235,294 см3
форма сечения
момент сопротивления
размер
Двутавр
Wz≥235,294 см3 по таблице сортамента
прямоугольник
с отношением
hb=1,5
Wz≥bh26=b1,5b26=0,375b3
b≥3Wz0,375
круг
Wz≥πD332=0,1D3
D≥3Wz0,1
кольцо
с отношением
dD=0,8
Wz≥πD3321-dD4
Wz≥πD3321-0,84=0,0579D3
D≥3Wz0,0579
Найденному значению момента сопротивления соответствуют следующие
размеры поперечных сечений:
форма
сечения
требуемые
размеры
принятые
размеры
см
площадь
A, см2
Двутавр
Wz≥235,294 см3
№ 22а
32,8
прямоугольник
b≥3235,294 0,375≈8,56 см
b=8,6
h=12,9
b×h
111
круг
D≥3235,2940,1≈13,3 см
D=13,5
πD24
143,14
кольцо
D≥3235,2940,0579≈15,96 см
D=16
d=12,8
t=1,6
πD241-dD2
72,4
Сопоставим площади поперечных сечений различных форм с двутавровым:
AкругаAдвутавр=143,1432,8=4,4 Aпрям.Aдвутавр=11132,8=3,4 Aкольц.Aдвутавр=72,432,8=2,2
Самое неэкономичное сечение – круг.
Выполнить проверку прочности по касательным напряжениям.
для стали Ст4,согласно П2.4, стр.136→τ=85 МПа
Форма
сечения
Максимальные касательные напряжения
σmaxτmax
двутавр
τmax=Q∙Smax'd∙Iz=49,4∙103∙143∙10-60,0054∙2790∙10-8
τmax=47 МПа
17047=3,6
прямоуг.
τmax=3Q2A=3∙49,4∙1032∙111∙10-4=6,7 МПа
1706,7 =25,4
круг
τmax=4Q3A=4∙49,4∙1033∙143,14∙10-4=4,6 МПа
1704,6 =37
кольцо
τmax=2Qπd0t=2∙49,4∙1033,14∙0,144∙0,016
τmax=13,7 МПа
17013,7 =12,4
Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.
Вывод:
Из условия прочности найдены размеры поперечных сечений балок различных вариантов исполнения.
Сопоставлены металлоемкости балок различных вариантов исполнения.
По сравнению с двутавровым сечением самым неэкономичным является круг.