Для решения задачи применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения. Проведем замену
ux,t=wx,t+Ux=wx,t+ga2xl-x2.
Ответ
ux,t=ga2xl-x2+
+n=0∞-16gl2a2π31+2n3cosaπ(1+2n)t2l+8Vlaπ21+2n2sinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Решение
Тогда для функции wx,t имеем следующую постановку
wtt=a2wxx,
ut=0=wt=0+ga2xl-x2=0,
utt=0=wtt=0=V,
wt=0=-ga2xl-x2, wtt=0=V,
ux=0=wx=0+ga2xl-x2x=0=wx=0=0,
uxx=l=wxx=0+ga2l-xx=l=wxx=l=0,
wx=0=0, wxx=l=0.
wx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя wx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия , получим
X0⋅Tt=0, X'l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'l=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx,
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l=λC2 cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=π2+πn=π(1+2n)2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π1+2n2l2, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπ(1+2n)x2l, n=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπ(1+2n)2l2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2l.
Решение wx,t представим в виде ряда по собственным функциям
wx,t=n=0∞TntXnx=
=n=0∞Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l,
wtx,t=n=0∞aπ(1+2n)2l-Ansinaπ(1+2n)t2l+Bncosaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3')
wt=0=n=0∞Ansinπ(1+2n)x2l=-ga2xl-x2,
wtt=0=n=0∞aπ(1+2n)2lBnsinπ(1+2n)x2l=V.
Из первого условия следует, что коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции -ga2xx-l2 в ряд Фурье по собственным функциям sinπ(1+2n)x2ln=0∞ на отрезке 0;l
An=2l0l-ga2xl-x2sinπ1+2nx2ldx=
=-2ga2l0lxl-x2-2lπ1+2ndcosπ(1+2n)x2l=
=4ga2π1+2nxl-x2cosπ1+2nx2l0l=0-0ll-xcosπ1+2nx2ldx=
=8gla2π21+2n20ll-xdsinπ1+2nx2l=
=8gla2π21+2n2l-xsinπ1+2nx2l0l=0+0lsinπ1+2nx2ldx=
=-16gl2a2π31+2n3cosπ1+2nx2l0l=-16gl2a2π31+2n3.
Из второго начального условия следует, что коэффициенты aπ(1+2n)2lBn будут коэффициентами разложения функции V в ряд Фурье по собственным функциям sinπ(1+2n)x2ln=0∞
aπ(1+2n)2lBn=2l0lVsinπ(1+2n)x2ldx=-4Vπ1+2ncosπ1+2nx2l0l=4Vπ1+2n,
Bn=8Vlaπ21+2n2.
Таким образом, функция wx,t имеет вид
wx,t=n=0∞-16gl2a2π31+2n3cosaπ(1+2n)t2l+8Vlaπ21+2n2sinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Учитывая замену (4) решение исходной начально-краевой задачи (1) − (3) для функции u(x,t) будет
ux,t=ga2xl-x2+
+n=0∞-16gl2a2π31+2n3cosaπ(1+2n)t2l+8Vlaπ21+2n2sinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Ответ:
ux,t=ga2xl-x2+
+n=0∞-16gl2a2π31+2n3cosaπ(1+2n)t2l+8Vlaπ21+2n2sinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
