Для одной из балок, изображенных на рисунке 22, требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M.
2. Выполнить кинематическую проверку.
3. Подобрать двутавровое сечение при σ=160 МПа.
4. Определить прогибы в середине межопорного пролета и на конце консоли (при отсутствии консоли величину второго прогиба определить в сечении, отстоящем от правой шарнирной опоры на величину l4).
5. Построить упругую линию балки.
Исходные данные: l=6 м, q=16 кН/м, F=18 кН, M=20 кН∙м.
Решение
Рисунок 1 – к расчету балки
1. Находим степень статической неопределимости (число опорных связей минус число уравнений равновесия):
n=4-3=1,
Следовательно, данная балка один раз статически неопределима.
2. Воспользуемся уравнениями равновесия в виде сумм моментов внешних нагрузок относительно точек A и B:
MA=0, mA-M-q∙3∙1,5+RB∙6=0,
mA+6RB=92;
(1)
MB=0, mA-M+q∙3∙4,5-RA∙6=0,
6RA-mA=196;
(2)
Для раскрытия статической неопределимости дополнительно к этим уравнениям используем уравнение начальных параметров:
EJyx=EJy0+EJθ0x±Mx-lM22±Fx-lF36±qx-lq424.
(3)
Используем данное уравнение для сечения, проходящего через характерную точку B, где прогиб над опорой равен нулю (yB=0). Начало координатной оси x располагаем в точке защемления балки (точка A), где прогиб и угол поворота её сечения (начальные параметры y0 и θ0) будут также равны нулю. При этом следует учитывать все сосредоточенные и распределенные нагрузки (включая и опорные реакции), приложенные к балке слева от рассматриваемого сечения (точка B) с координатой xB. Привязка этих нагрузок к сечению осуществляет с учетом расстояний lM, lF и lq (уравнение 3). Это расстояние от начала координат до сечения, в котором приложена соответствующая сосредоточенная нагрузка или начинается действие распределенной нагрузки.
Если распределенная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения, то ее следует продолжить до этого сечения и, одновременно с этим, на длине добавленного участка приложить распределенную нагрузку той же величины, но обратного знака. Нагрузки, приложенные правее рассматриваемого сечения, не учитываются.
Положительные знаки перед составляющими уравнения (3) принимаются при условии, если воздействие от нагрузки, приводит к растяжению нижних волокон балки.
С учетом этого уравнение начальных параметров принимает вид:
EJyB=-mA6-022+RA6-036-q6-0424+q6-3424=0,
2RA-mA=45.
(4)
Совместно решая уравнения (2) и (4), получаем:
RA=37,75 кН;
mA=30,5 кН∙м.
Положительное значение mA показывает, что ранее принятое направление момента защемления было выбрано верно.
Подставляя полученные значения RA и mA в уравнение (1), получаем
RB=10,25 кН.
Проведем проверку полученных результатов:
Y=RA-q∙3+RB=37,75-16∙3+10,25=48-48=0.
Следовательно, реакции (опорные связи) определены верно.
3
. По условию задачи необходимо провести повторное раскрытие статической неопределимости балки, используя метод сил.
Согласно этому методу необходимо от заданной системы балки перейти к основной системе. Для этого отбросим шарнирную опору B и приложим в этом сечении неизвестную силу x1=RB. Для определения этой силы составим каноническое уравнение:
∆B=δ11x1+∆1F=0.
Рисунок 2 – Схема расслоения эпюр
Для определения перемещения δ11 точки приложения силы x1=1 по направлению действия неизвестной силы и перемещения ∆1F в той же точке от действия заданной нагрузки предварительно построим эпюры изгибающих моментов в основной системе при грузовом и единичном состояниях. Грузовое состояние основной системы рассмотрим методом расслоения, т.е. для каждой внешней нагрузки отдельно построим эпюры изгибающих моментов. При этом на рисунках совмещаем внешнюю нагрузку с её эпюрой изгибающего момента (рисунок 2).
Для внешнего момента M (рисунок 2):
Mx=-M=-20 кН∙м.
Для распределенной нагрузки q (рисунок 2):
Mx=-qx-4,522,
Mx=4,5=0, Mx=6=-16∙1,522=-18 кН∙м,
M(x=7,5)=-16∙322=-72 кН∙м.
Эпюра единичного состояния представлена на рисунке 2.
Перемещение ∆1F определяем по правилу Верещагина, «перемножая» эпюры внешних и единичной нагрузок:
∆1F=i=1n1EJAi∙MCi,
где Ai – площадь эпюры внешней нагрузки; MCi – ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры от внешней нагрузки.
Для каждой эпюры внешних нагрузок (MF, Mq) определим значения их площадей (Ai) и положения центров тяжести (рисунки 2).
Тогда
A1=20∙1,5=30, A2=20∙6=120, A3=13∙72∙3=72.
Ординаты единичной эпюры на уровне центров тяжести эпюр внешних нагрузок указаны на рисунке 2. Они вычислены как произведение единичной силы x1=1 на расстояние от нее до рассматриваемого центра тяжести:
M1=0, M2=1∙0,5∙6=3, M3=1∙34∙3+3=5,25.
Точно так же вычислим значения единичных моментов в серединах участков балки.
Участок DB: M1=0+1,52=0,75;
Участок BC: M1=1,5+4,52=3;
Участок CA: M1=4,5+7,52=65.
Эти значения буду необходимы для дальнейших расчетов.
Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных – отрицательным.
∆1F=1EJ-A1M1-A2M2-A3M3=
=1EJ-30∙0-120∙3-72∙5,25=-738EJ.
Перемещение δ11 определяем, «перемножая» эпюру M1 (рисунок 2) саму на себя:
δ11=1EJ∙A11∙M11,
где A11 – площадь единичной эпюры; M11 – ордината единичной эпюры на уровне её центра тяжести.
δ11=1EJ∙12∙6∙6∙1∙23∙6=72EJ.
Из уравнения δ11x1+∆1F=0 находим x1:
x1=-∆1Fδ11=--738EJ72EJ=10,25 кН.
Полученное значение x1=RB=10,25 кН совпадает с величиной опорной реакции RB, определенной с применением метода начальных параметров.
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
