Для объяснения продажной цены двухкомнатных квартир (price) в одном из округов некоего мегаполиса из всех таких квартир

А. Какая проблема имеет место в 1-м уравнении? Как она проявляется?
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (1):
ln(price) = β0 + β1* totsp + β2* livsp + β3* walk_m + β4* walk_t + ε (*)
В выборке переменные totsp и livsp очень сильно коррелированны (коэффициент корреляции между totsp и livsp равен 0,92). То есть проблемой в 1-м уравнении может являться мультиколлинеарность.
Проверим гипотезы о значимости отличия от нуля коэффициентов при этих переменных.
Для коэффициента totsp:
H0: β1 = 0
HA: β1 ≠ 0
tстат = (0,062 – 0)/0,059 ≈ 1,051.
Выберем уровень значимости 0,05. Число степеней свободы для уравнения (1) равно 48 – 5 = 43. Поэтому
tкрит(0,05; 43) = 2,02.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной totsp незначимо отличен от нуля, таким образом переменная «общая площадь квартиры» незначимо влияет на цену квартиры.
Для коэффициента livsp:
H0: β2= 0
HA: β2≠ 0
tстат = (0,112 – 0)/0,105 ≈ 1,067.
Выберем уровень значимости 0,05. Число степеней свободы для уравнения (1) равно 48 – 5 = 43. Поэтому
tкрит(0,05; 43) = 2,02.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной livsp незначимо отличен от нуля, таким образом переменная «жилая площадь квартиры» незначимо влияет на цену квартиры.
Если в модели коэффициент при какой-то переменной равен нулю, это означает, что такая переменная не влияет на зависимую переменную.
В данном случае из-за мультиколлинеарности коэффициенты при коррелированных переменных оказались незначимо отличными от нуля, то есть переменные, которые, безусловно, являются важными детерминантами цены квартиры, из-за мультколлинеарности оказались не влияющими на цену квартиры.
Б. Для модели (2) проверьте гипотезу о том, что увеличение на 1 минуту расстояния что до метро, что до остановки наземного транспорта, изменяет цену квартиры одинаково.
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (2):
ln(price) = β0 + β1* totsp + β3* walk_m + β4* walk_t + ε (**)
Интерпретация коэффициента β3 при факторе walk_m: при увеличении времени поездки наземным транспортом от квартиры до станции метро на 1 минуту цена квартиры уменьшается в среднем на 2,4% (β3*100) (точнее, на 100%*(еβ3-1) = -2,37, т.е . уменьшается на 2,37%) (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Интерпретация коэффициента β4 при факторе walk_t: при увеличении расстояния от квартиры до ближайшей остановки наземного транспорта на 1 минуту цена квартиры уменьшается в среднем на 1,9% (β4*100) (точнее, на 100%*(еβ4-1) = -1,88, т.е. уменьшается на 1,88%) (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Таким образом, гипотеза о том, что увеличение на 1 минуту расстояния что до метро, что до остановки наземного транспорта, изменяет цену квартиры одинаково, это гипотеза о том, что коэффициенты при этих двух переменных равны.
H0: β3 = β4
НА: не H0
Так как нулевая гипотеза – это гипотеза о равенстве нескольких коэффициентов модели регрессии, для ее проверки используем тест Фишера.
Пусть H0 истинна. Тогда преобразуем исходную модель (**) с учетом проверяемой гипотезы:
ln(price) = β0 + β1* totsp + β3* walk_m + β3* walk_t + ε , т.е.
ln(price) = β0 + β1* totsp + β3*(walk_m + walk_t )+ ε
Но в скобках стоит расстояние до станции метро в минутах, то есть walk. Поэтому окончательно преобразованная модель записывается так:
ln(price) = β0 + β1* totsp + β3* walk + ε
Или, если соответственно поменять номер переменной при walk,
ln(price) = β0 + β1* totsp + β5* walk + ε (***)
То есть, это теоретическая модель для выборочного уравнения (3).
Таким образом, имеем длинную модель (**), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,642, и короткую модель (***), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,63