Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта и изображенной на рис. 1-1 – 1-20, выполнить следующее:
Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Определить токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.
Результаты расчетов токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.
Составить баланс мощности в исходной схеме (с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).
Дано:
R1=12 Ом;
R2=15 Ом;
R3=9 Ом;
R4=22,5 Ом;
R5=31,5 Ом;
R6=39 Ом;
E1=25,5 В;
E3=30 В;
Iк1=1 А
Iк3=0 А
Решение
Источник тока Iк3 равен нулю. Исключаем его из схемы. Источник тока Iк1 может быть преобразован в источник ЭДС. При этом, полученный источник будет соединен последовательно с источником ЭДС E1. Выполняем преобразование:
E1'=Iк1R1+E1=1∙12+25,5=37,5 В
Схема после преобразования имеет вид:
Число узлов у=4, количество ветвей с неизвестными токами в=6. Задаемся положительными направлениями токов.
По первому закону Кирхгофа составляется у-1=4-1=3 уравнения:
узел a:I2-I3+I6=0
узел b: -I1-I5-I6=0
узел c: I3-I4+I5=0
В цепи в-у-1=6-4-1=3 независимых контура. и Указываем на схеме направление обхода контуров – по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур I: I3R3-I5R5+I6R6=E3
контур II: I1R1+I2R2-I6R6=-E1'
контур III: -I1R1+I4R4+I5R5=E1'
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему и подставляем исходные данные:
I2-I3+I6=0a-I1-I5-I6=0bI3-I4+I5=0c9I3-31,5I5+39I6=30I12I1+15I2-39I6=-37,5II-12I1+22,5I4+31,5I5=37,5III
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Произвольно задаем направление контурных токов.
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа):
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31+I22R32-I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и алгебраические суммы ЭДС контуров:
R11=R3+R5+R6=9+31,5+39=79,5 Ом
R22=R1+R2+R6=12+15+39=66 Ом
R33=R1+R4+R5=12+22,5+31,5=66 Ом
R12=R21=R6=39 Ом
R13=R31=R5=31,5 Ом
R23=R32=R1=12 Ом
E11=E3=30 В
E22=-E1'=-37,5 В
E33=E1'=37,5 В
Подставим найденные значения в систему уравнений:
79,5I11-39I22-31,5I33=30-39I11+66I22-12I33=-37,5-31,5I11-12I22+66I33=37,5
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (контурных токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
79,5-39-31,5-3966-12-31,5-1266∙I11I22I33=30-37,537,5
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=79,5-39-31,5-3966-12-31,5-1266=139495,5
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=30-39-31,5-37,566-1237,5-1266=111172,5
Δ2=79,530-31,5-39-37,5-12-31,537,566=10850,625
Δ3=79,5-3930-3966-37,5-31,5-1237,5=134291,25
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=111172,5139495,5=0,797 А
I22=Δ2Δ=10850,625139495,5=0,078 А
I33=Δ3Δ=134291,25139495,5=0,963 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I22-I33=0,078-0,963=-0,885 А
I2=I22=0,078 А
I3=I11=0,797 А
I4=I33=0,963 А
I5=I33-I11=0,963-0,797=0,166 А
I6=I11-I22=0,797-0,078=0,719 А
Заземлим узел «d».
Потенциал узла «d»:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R2+1R3+1R6=115+19+139=0,203 См
Gbb=1R1+1R5+1R6=112+131,5+139=0,141 См
Gcc=1R3+1R4+1R5=19+122,5+131,5=0,187 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R6=139=0,026 См
Gac=Gca=1R3=19=0,111 См
Gbc=Gcb=1R5=131,5=0,032 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=-E3R3=-309=-3,333 А
в узле «b»: Ibb=E1'R1=37,512=3,125 А
в узле «c»: Icc=E3R3=309=3,333 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,203φa-0,026φb-0,111φc=-3,333-0,026φa+0,141φb-0,032φc=3,125-0,111φa-0,032φb+0,187φc=3,333
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,203-0,026-0,111-0,0260,141-0,032-0,111-0,0320,187∙φaφbφc=-3,3333,1253,333
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
