Для электрической схемы цепи синусоидального тока

1. Составляем расчетную схему электрической цепи с учетом исходных данных (см. рис. 7). На схеме обозначим направления токов в ветвях и направление обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.
Рисунок 7 – Расчетная схема электрической цепи.
2. На основании законов Кирхгофа запишем систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы в символической форме.
Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа должно соответствовать количеству неизвестных токов. Рассматриваемая цепь имеет три ветви с неизвестными токами, поэтому система уравнений состоит из трех уравнений.
По первому закону Кирхгофа составляется на одно уравнение меньше, чем количество узлов. Цепь имеет два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров.
Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа в символической форме имеет вид:
-I1+I2-I1=0 (узел 1),R1∙I1+jω∙L1∙I1+R2∙I2-j1ω∙C2∙I2=E2 контур I, R2∙I2-j1ω∙C2∙I2+R3∙I3+jω∙L3∙I3-j1ω∙C3∙I3=E2+E3 (контур II). 2.1
2. Рассчитаем комплексные действующие значения токов во всех ветвях схемы.
Запишем комплексные значения ЭДС:
E2=1322∙e+j32°; 2.2
E2=79,155+j49,462=93,338∙e+j32° В;
E3=1722∙e+j40°; 2.3
E2=93,168+j78,177=121,622∙e+j40° В.
Определим сопротивления реактивных элементов:
XL1=2∙π∙f∙L1=2∙3,142∙128∙6,8∙10-3; 2.4
XL1=0+j5,469=5,469∙e+j90° Ом;
XL3=2∙π∙f∙L3=2∙3,142∙128∙7,4∙10-3; 2.5
XL3=0+j5,951=5,951∙e+j90° Ом;
XC2=12∙π∙f∙C2=12∙3,142∙128∙32,4∙10-6; 2.6
XC2=0-j38,376=38,376∙e-j90° Ом;
XC3=12∙π∙f∙C3=12∙3,142∙128∙23,6∙10-6; 2.7
XC3=0-j52,686=52,686∙e-j90° Ом.
Определим комплексные сопротивления ветвей:
Z1=R1+jXL1=38+j5,469=38,392∙e+j8,19° Ом; 2.8
Z2=R2-jXC2=18-j38,376=42,388∙e-j64,872° Ом; 2.9
Z3=R3+jXL3-jXC3=56+j5,951-j52,686; 2.10
Z3=(56-j46,735)=72,939∙e-j39,847° Ом.
Так как схема имеет всего два узла, то для расчета токов применим частный случай метода узловых потенциалов – метод двух узлов . Согласно этому методу напряжение между узлами определяется как:
U12=E2∙Y2-E3∙Y3Y1+Y2+Y3, 2.11
где комплексные проводимости параллельных ветвей:
Y1=1Z1=138,392∙e+j8,19°; 2.12
Y1=(0,026-j0,004)=0,026∙e-j8,19° См;
Y2=1Z2=142,388∙e-j64,872°; 2.13
Y2=(0,01+j0,021)=0,024∙e+j64,872° См;
Y3=1Z3=172,939∙e-j39,847°; 2.14
Y3=(0,011+j0,009)=0,014∙e+j39,847° См.
Подставляем значения комплексных ЭДС и проводимостей для определения напряжения между узлами цепи:
U12=93,338∙e+j32°∙0,024∙e+j64,872°-0,026-j0,004+0,01+j0,021+0,011+j0,009;
-121,622∙e+j40°∙0,014∙e+j39,847°0,026-j0,004+0,01+j0,021+0,011+j0,009;
U12=-4,015+j14,052=14,614∙e+j105,945° В.
Рассчитаем токи в ветвях цепи, пользуясь законом Ома для ветви с ЭДС:
I1=U12∙Y1=14,614∙e+j105,945°∙0,026∙e-j8,19°; 2.15
I1=-0,051+j0,377=0,381∙e+j97,755° А;
I2=(E2-U12)∙Y2; 2.16
I2=79,155+j49,462--4,015+j14,052∙0,024∙e+j64,872°;
I2=0,077+j2,131=2,133∙e+j87,934° А;
I3=(E3+U12)∙Y3; 2.17
I3=93,168+j78,177+-4,015+j14,052∙0,014∙e+j39,847°;
I3=0,128+j1,754=1,759∙e+j85,818° А.
3. Составим баланс мощностей источников и потребителей.
Рассчитаем суммарную комплексную мощность источников:
Sист=Ek∙I*k=E2∙I*2+E3∙I*3, 2.18
где I* – комплексно-сопряженные токи.
Тогда
Sист=93,338∙e+j32°∙2,133∙e-j87,934°+
+121,622∙e+j40°∙1,759∙e-j85,818°;
Sист=260,564-j318,276=411,331∙e-j50,694° В∙А.
Следовательно,
суммарная активная мощность источников Pист=260,564 Вт,
суммарная реактивная мощность источников Qист=-318,276 ВАр.
Рассчитаем комплексную мощность приемников цепи.
SпрΣ=PпрΣ+jQпрΣ, 2.19
где суммарная активная мощность приемников:
PпрΣ=R1∙I12+R2∙I22+R3∙I32; 2.20
PпрΣ=38∙0,3812+18∙2,1332+56∙1,7592;
PпрΣ=260,564 Вт.
Суммарная реактивная мощность приемников:
QпрΣ=XL1∙I12+-XC2∙I22+XL3-XC3∙I32; 2.21
QпрΣ=5,469∙0,3812+-38,376∙2,1332+5,951+-52,686∙1,7592;
QпрΣ=-318,276 ВАр.
Тогда суммарная комплексная мощность приемников
SпрΣ=260,564-j318,276=411,331∙e-j50,694° В∙А.
Следовательно, баланс мощностей выполняется:
Pист=PпрΣ=260,564 Вт; 2.22
Qист=QпрΣ=-318,276 ВАр