Для электрической цепи рассчитайте значения токов в ветвях I1, I2, I3, I4, I5, используя законы Кирхгофа, метод контурных токов и метод узловых потенциалов.
Дано: R1=5 Ом; R2=5 Ом; R3=10 Ом; R4=10 Ом; R5=2 Ом; E1=15 В; E2=10 В; I0=5 А.
Решение
Выбираем положительные направления токов в ветвях.
В рассматриваемой схеме четыре узла (m=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (p=6).
По первому закону Кирхгофа составляем (m-1=3) уравнения:
узел 1: I1+I6-I0=0
узел 2: -I2+I5-I6=0
узел 3: I2-I3-I4=0
По второму закону Кирхгофа составляем [p-(m-1)=3] уравнения для трех контуров I, II, III. Выбрав направление обхода во всех контурах, получим:
контур I: R3I3-R4I4=0
контур II: R1I1-R5I5=E1
контур III: R2I2+R4I4+R5I5=E2
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему и подставляем в нее числовые значения:
I1+I6-I0=0-I2+I5-I6=0I2-I3-I4=0R3I3-R4I4=0R1I1-R5I5=E1R2I2+R4I4+R5I5=E2
Составим расширенную матрицу системы и решим ее методом обратной матрицы при помощи ПО Mathcad:
В результате получаем:
I1=3,75 А
I2=0,625 А
I3=0,313 А
I4=0,313 А
I5=1,875 А
I6=1,25 А
Задаем стрелками направления контурных токов (I11,I22 ,I33) в независимых контурах схемы.
Рис
. 3
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде:
R11I11-R12I22-R13I33=E11-R21I11+R22I22-R23I33=E22-R31I11-R32I22+R33I33=E33
Определяем собственные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и контурные ЭДС:
R11=R3+R4=10+10=20 Ом
R22=R1+R5=5+2=7 Ом
R33=R2+R4+R5=5+10+2=17 Ом
R12=R21=0
R13=R31=R4=10 Ом
R23=R32=R5=2 Ом
E11=0
E22=E1-R1I0=15-5∙5=-10 В
E33=E2=10 В
Подставим найденные значения в систему уравнений:
20I11-0I22-10I33=0-0I11+7I22-2I33=-10-10I11-2I22+17I33=10
Составим расширенную матрицу системы и решим ее методом обратной матрицы при помощи ПО Mathcad:
В результате получаем:
I11=0,313 А
I22=-1,25 А
I33=0,625 А
Вычисляем токи в ветвях:
I1=I22+I0=-1,25+5=3,75 А
I2=I33=0,625 А
I3=I11=0,313 А
I4=-I11+I33=-0,313+0,625=0,313 А
I5=-I22+I33=--1,25+0,625=1,875 А
I6=-I22=--1,25=1,25 А
Принимаем потенциал узла 1 равным нулю:
φ1=0.
Зная потенциал узла 1, определяем потенциал узла 2:
φ2=φ1+E1=0+15=15 В
Составляем систему уравнений по МУП в общем виде:
-G32φ2+G33φ3-G34φ4=I33-G42φ2-G43φ3+G44φ4=I44
Вычислим собственные проводимости узлов:
G33=1R2+1R3+1R4=15+110+110=0,4 См
G44=1R1+1R3+1R4+1R5=15+110+12=0,9 См
Общие проводимости узлов:
G32=1R2=15=0,2 См
G42=1R5=12=0,5 См
G34=G43=1R3+1R4=110+110=0,2 См
Узловые токи:
I33=E2R2=105=2 А
I44=I0=5 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
-0,2∙15+0,4φ3-0,2φ4=5-0,5∙15-0,2φ3+0,9φ4=12,5
Составим расширенную матрицу системы и решим ее методом обратной матрицы при помощи ПО Mathcad:
В результате получаем:
φ3=21,875 В
φ4=18,75 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φ4-φ1R1=18,75-05=3,75 А
I2=φ2-φ3+E2R2=15-21,875+105=0,625 А
I3=φ3-φ4R3=21,875-18,7510=0,313 А
I4=φ3-φ4R4=21,875-18,7510=0,313 А
I5=φ4-φ2R5=18,75-152=1,875 А
Ток I6 определяем по 1-му закону Кирхгофа:
I6=I0-I1=5-3,75=1,25 А
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
