Для электрической цепи по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:
Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по законам Кирхгофа.
Найти все токи методом контурных токов.
Вычислить токи методом узловых напряжений, предварительно заменив треугольник сопротивлений R4, R5, R6 эквивалентной звездой.
Определить ток в ветви методом эквивалентного генератора.
Определить показание вольтметра.
Составить баланс мощностей.
Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Рис.1.1. Схема
Дано: Е1=6 В, Е2=20 В, Е3=4 В, R02=0,8 Ом, R03=1,2 Ом, R1=4 Ом, R2=6 Ом, R3=4 Ом, R4=4 Ом, R5=3 Ом, R6=3 Ом.
Решение
Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа. При этом обозначим на схеме все узлы, независимые контура и условно-положительные направления токов в ветвях (рис.1.2):
Рис.1.2. Расчетная схема к методу законов Кирхгофа
В схеме четыре узла (1, 2, 3, 4), шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трём (на одно меньше количества узлов), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
I3+I4-I6=0-для узла 1I2-I4+I5=0-для узла 2I1-I5+I6=0-для узла 3-I1R1+I2R2+R02-I5R5=-E1+E2-для контура I-I2R2+R02+I3R3+R03-I4R4=E3-E2-для контура III4R4+I5R5+I6R6=0-для контура III
После подстановки исходных данных будем иметь
I3+I4-I6=0I2-I4+I5=0I1-I5+I6=0-4I1+6,8I2-3I5=14-6,8I2+5,2I3-4I4=-164I4+3I5+3I6=0
Найдем все токи, пользуясь методом контурных токов в заданной схеме
Для трех контуров схемы выберем направление обхода контуров по часовой стрелке и в соответствии с обозначенными на схеме направлениями токов составим уравнения по второму закону Кирхгофа для этих контуров (рис.1.3):
Рис.1.3. Расчетная схема к методу контурных токов
I11R1+R2+R02+R5-I22R2+R02-I33R5=-E1+E2-I11(R2+R02)+I22R2+R02+R3+R03+R4-I33R4=E3-E2-I11R4-I22R5+I33R4+R5+R6=0
После подстановки исходных данных имеем
I114+6+0,8+3-I226+0,8-3I33=-6+20-I116+0,8+I226+0,8+4+1,2+4-4I33=4-20-3I11-4I22+I334+3+3=0
Упрощаем
13,8I11-6,8I22-3I33=14-6,8I11+16I22-4I33=-16-3I11-4I22+10I33=0
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Находим
∆=13,8-6,8-3-6,816-4-3-410=13,8∙16∙10+-6,8∙-4∙-3+-6,8∙-4∙-3--3∙16∙-3--6,8∙-6,8∙10--4∙-4∙13,8=2208-81,6-81,6-144-462,4-220,8=1217,6
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=14-6,8-3-1616-40-410=736
∆2=13,814-3-6,8-16-4-3010=-944
∆3=13,8-6,814-6,816-16-3-40=-156,8
Находим контурные токи
I11=∆1∆=7361217,6=0,604 А
I22=∆2∆=-9441217,6=-0,775 А
I33=∆3∆=-156,81217,6=-0,129 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=-I11=-0,604 A
I2=I11-I22=0,604--0,775=1,379 A
I3=I22=-0,775 A
I4=I33-I22=-0,129--0,775=0,646 A
I5=I33-I11=-0,129-0,604=-0,733 A
I6=I33=-0,129 A
Получившиеся отрицательными значения токов I1, I3, I5, I6 означают, что в действительности направления этих токов противоположны тем, что были выбраны и обозначены на рис.1.3 и рис.1.2.
Упростим схему, заменив треугольник сопротивлений R4, R5 и R6 эквивалентной звездой; начертим расчетную схему с эквивалентной звездой, и покажем на ней токи (рис.1.4), где:
R45=R4∙R5R4+R5+R6=4∙34+3+3=1,2 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=4∙34+3+3=1,2 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=3∙34+3+3=0,9 Ом
Рис.1.4
. Схема с эквивалентной звездой
Находим проводимости ветвей
Y1=1R1+R56=14+0,9=0,204 См
Y2=1R2+R02+R46=16+0,8+1,2=0,125 См
Y3=1R3+R03+R45=14+1,2+1,2=0,156 См
Определяем межузловое напряжение между узлами 1 и 2:
U12=E1Y1+E2Y2+E3Y3Y1+Y2+Y3=6·0,204+20·0,125+4·0,1560,204+0,125+0,156=8,965 B
Находим токи в ветвях
I1=E1-U12R1+R56=6-8,9654+0,9=-0,605 A
I2=E2-U12R2+R02+R46=20-8,9656+0,8+1,2=1,379 A
I3=E3-U12R3+R03+R45=4-8,9654+1,2+1,2=-0,776 A
Остальные токи находим из уравнений, составленных для замкнутых контуров I, II, III по законам Кирхгофа по рис.1.2 или по первому закону Кирхгофа для узлов:
из уравнения для контура I
-I1R1+I2R2+R02-I5R5=-E1+E2
--0,605·4+1,3796+0,8-I5·3=-6+20
2,42+9,3772-I5·3=14
I5=2,42+9,3772-143=-0,734 А
по первому закону Кирхгофа для узла 2:
I2-I4+I5=0, откуда
I4=I2+I5=1,379+-0,734=0,645 А
по первому закону Кирхгофа для узла 3:
I1-I5+I6=0, откуда
I6=I5-I1=-0,734--0,605=-0,129 А
Все значения вычисленных токов совпадают со значениями в методе контурных токов.
Определим ток в ветви с сопротивлением R6 методом эквивалентного генератора (рис.1.5):
Рис.1.5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
