Для данного ряда определить общий член ряда

Общий член ряда;
так как 1=115;то 115+125+135+145+…
Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби.
Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица.
В знаменателях дробей последовательно возводятся в пятую степень натуральные числа15,25,35,45...; n-й член этой прогрессииbn=n5 .
Следовательно, общий член ряда:
un=1n5;
– сумма ряда
n=1∞un=n=1∞1n5;
Этот ряд является рядом Дирихле с s >1, а, значит, ряд сходится.
S1=1;S2=1+132;S3=1+132+1243;S4=1+132+1243+11024;
Sn-1=1n-15;Sn=1n5
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка s равна значению дзета-
функции Римона:
n=1∞1n5=ζ(5)
– исследовать сходимость ряда.
Исследуем сходимость ряда используя интегральный признак.
un=1x5
Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши (она принимает положительные значения и убывает с возрастанием х).
1∞1x5dx=limb→∞1b1x5dx=limb→∞1bx-5dx=limb→∞x-5+1-5+1b1=limb→∞1-4∙x4b1=
=-14limb→∞1b4-1=14
то есть интеграл сходится, значит, и ряд сходится.