Даны законы распределения ДСВ X и Y. Требуется найти математическое ожидание

А) Вычислим числовые характеристики ДСВ X и Y:
- математические ожидания случайных величин:
Mx=ixip(xi)=-5∙0,05-3∙0,45-1∙0,5=-2,1
My=iyip(yi)=1∙0,3+2∙0,7=1,7
- дисперсии:
Dx=ixi2p(xi)-Mx2=-52∙0,05+-32∙0,45+-12∙0,5--2,12=1,39
Dy=iyi2p(yi)-My2=12∙0,3+22∙0,7-1,72=0,21
- средние квадратические отклонения:
σx=Dx=1,39≈1,179
σy=Dy=0,21≈0,458
б) Находим начальные и центральные моменты для ДСВ X:
- начальные моменты:
m1=Mx=-2,1
m2=ixi2p(xi)=-52∙0,05+-32∙0,45+-12∙0,5=5,8
m3=ixi3p(xi)=-53∙0,05+-33∙0,45+-13∙0,5=-18,9
m4=ixi4p(xi)=-54∙0,05+-34∙0,45+-14∙0,5=68,2
- центральные моменты:
μ1=0
μ2=m2-m12=Dx=1,39
μ3=m3-m12μ2+m2=-18,9--2,1∙2∙1,39+5,8=-0,882
μ4=m4-2m1μ3+m3+m14=
=68,2-2∙-2,1∙-0,882-18,9+-2,14=4,5637
Коэффициент асимметрии:
Ax=μ3μ23=-0,8821,393≈-0,5382
Коэффициент эксцесса:
Ex=μ4μ22-3=4,56371,392-3≈-0,6380
в) Составим закон распределения ДСВ Z=X2+3Y.
Выпишем для удобства законы распределения X2 и 3Y:
xi2
1 9 25
3yi
3 6
pi
0,5 0,45 0,05
pi
0,3 0,7
Теперь определяем все возможные значения, которые может принимать ДСВ Z=X2+3Y и вычисляем соответствующие вероятности:
- z=4:
Pz=4=Px2=1∙P3y=3=0,5∙0,3=0,15
- z=7:
Pz=7=Px2=1∙P3y=6=0,5∙0,7=0,35
- z=12:
Pz=12=Px2=9∙P3y=3=0,45∙0,3=0,135
- z=15:
Pz=15=Px2=9∙P3y=6=0,45∙0,7=0,315
- z=28:
Pz=28=Px2=25∙P3y=3=0,05∙0,3=0,015
- z=31:
Pz=31=Px2=25∙P3y=6=0,05∙0,7=0,035
Получили следующий закон распределения ДСВ Z=X2+3Y:
z
4 7 12 15 28 31
pz
0,15 0,35 0,135 0,315 0,015 0,035
г) Найдем Mz,Dz непосредственно по закону распределения:
Mz=izip(zi)=4∙0,15+…+31∙0,035=10,9
Dz=izi2p(zi)-Mz2=42∙0,15+…+312∙0,035-10,92=36,45
Найдем Mz,Dz на основе свойств математического ожидания и дисперсии:
Mz=MX2+3Y=MX2+3MY=m2+3MY=5,8+3∙1,7=10,9
Dz=DX2+3Y=DX2+32DY=m4-m22+9DY=
=68,2-5,82+9∙0,21=36,45
Как видим, результаты идентичны.