Даны вершины треугольной пирамиды S3 3 6

1) Найдем координаты векторов BS и BC:
BS=3--3;3-4;6-(-3)=6;-1;9;
BC=-3--3;-3-4;-6-(-3)=0;-7;-3;
Воспользуемся формулой косинуса между двумя векторами:
cosα=BS , BCBS BC=6*0-1*-7+9*(-3)62+(-1)2+92 (-7)2+(-3)2=-2011858=-101711
⇒ α=arccos-101711≈104°.
2)Площадь грани ABC находим, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на двух векторах численно равна модулю их векторного произведения . Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:
SABC=12AB×AC
Сначала найдем координаты векторов:
AB=-3-4;4--3;-3-(-3)=-7;7;0;
AC=-3-4;-3--3;-6-(-3)=-7;0;-3;
находим их векторное произведение:
AB×AC=ijk-770-70-3=i700-3-j-70-7-3+k-77-70=
=-21i-21j+49k
Тогда
SABC=12AB×AC=12-212+-212+492=127267=7672.
3) Объем пирамиды равен одной шестой смешанного произведения трех векторов, модуль которого численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
AS=3-4;3--3;6-(-3)=-1;6;9;
Составим определитель из координат векторов AB,AC,AS
-770-70-3-169=-70-369-7-7-3-19=-7*18-7-63-3=336
Тогда
V=16336=56.
4) Известна формула
V=13Sh
Тогда искомая высота будет равна
h=3VSABC=3*567672=4867
5) Искомая высота будет перпендикулярна плоскости ABC, значит направляющий вектор прямой, будет нормальным для этой плоскости.
Составим уравнение плоскости по точке A и векторам AB,AC:
x-4y+3z+3-770-70-3=x-4700-3-y+3-70-7-3+
+z+3-77-70=-21x-4-21y+3+49z+3=0
-3x-4-3y+3+7z+3=0
-3x+12-3y-9+7z+21=0
-3x-3y+7z+24=0 уравнение плоскости ABC
Тогда n=-3;-3;7 - ее нормальный вектор.
Составим уравнение прямой, определяющей высоту, по точке S и направляющему вектору n.
x-3-3=y-3-3=z-67