Даны вершины треугольной пирамиды S3 1 4

Угол между ребрами найдем как угол между соответствующими векторами, используя определение скалярного произведения:
cosα=BS∙BCBS∙BC
BS=xS-xB;yS-yB;zS-zB=3+1;1-4;4+1=4;-3;5
BC=xC-xB;yC-yB;zC-zB=-1+1;-3-4;-4+1=0;-7;-3
cosα=BS∙BCBS∙BC=4∙0+-3∙-7+5∙(-3)42+(-3)2+52∙02+(-7)2+(-3)2=650∙58=
=61029=3529
α=arccos3529≈83,63°
Площадь грани ABC, построенной на векторах AB и AC, найдем, используя свойство векторного произведения:
S=12∙AB×AC
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=-1-4;4+1;-1+3=-5;5;2
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=-1-4;-3+1;-4+3=-5;-2;-1
AB×AC=ijk-552-5-2-1=-5i-10j+10k+25k-5j+4i=-i-15j+35k
AB×AC=(-1)2+(-15)2+352=1451
S=14512 кв.ед
Объем пирамиды SABC, построенной на векторах AB,AC и AS, найдем, используя свойство смешанного произведения:
V=16∙AB×AC∙AS
AS=xS-xA;yS-yA;zS-zA=3-4;1+1;4+3=-1;2;7
AB×AC∙AS=-1∙-1+-15∙2+35∙7=1-30+245=216
V=2166=36 (куб.ед)
Длину высоты h, опущенной из вершины S на грань ABC, найдем, используя формулу объема пирамиды:
V=13SABC∙h => h=3VSABC=2161451 ед.
Угол между ребром SC и гранью ABC с вектором нормали n найдем по формуле:
sinγ=SC∙nSC∙n
Вектором нормали к грани ABC служит вектор:
n=AB×AC=-1;-15;35
SC=xC-xS;yC-yS;zC-zS=-1-3;-3-1;-4-4=-4;-4;-8
sinγ=-4∙-1+-4∙-15+-8∙35(-4)2+(-4)2+(-8)2∙(-1)2+(-15)2+352=21696∙1451=548706
γ=arcsin548706≈35,38°
Вектор нормали к плоскости ABC является направляющим искомой высоты