Даны вершины треугольника АВС А( 1 1 )

Сделаем рисунок.
Введем обозначения, пусть AxA;yA ; BxB;yB; CxC;yC.
1)Найдем длину стороны АВ.
Длину стороны АВ найдем по формуле: АВ=xB-xA2+yB-yA2 . Где
xA=1, yA=1 и xB=4, yB=3 - координаты точек А и В. Получим:
АВ=4-12+3-12=32+22=9+4=13≈3,61.
2) Для составления уравнения прямой AB воспользуемся уравнением:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA, .
Составим уравнение прямой AB, проходящей через точку А(1; 1) ⇒ xA=1, yA=7 и точку B(4; 3) ⇒ xB=4, yB=3.
Уравнение прямой AB: x-14-1=y-13-1 или x-13=y-12 ⇒2∙x-1=3∙y-1 ⇒
⇒y-1=2∙x-13 ⇒y=23x-23+1 ⇒y=23x+13 .
окончательно АВ: y=23x+13 .
3)Найдем длину медианы АМ .
Для нахождения длины медианы AM найдем точку M(xMyM) как середину отрезка CB, где C(-4; 2), B(4; 3) по формулам: xM=xC+xB2 ; yM=yC+yB2 .
xM=-4+42=02=0, yM=2+32=52=2,5 ⇒M0;2,5.
Тогда длину медианы АМ найдем по формуле: АМ=xM-xA2+yM-yA2 . Где
xA=1, yA=1 и xM=0, yM=2,5 - координаты точек А и М. Получим:
АМ=0-12+2,5-12=-12+1,52=1+2,25=3,25≈1,80.
4) Составим уравнение медианы AM.
Воспользуемся уравнением прямой проходящей две точки:
x-xAxM-xA=y-yAyM-yA. У нас A1; 1, M0; 2,5, тогда уравнение
AМ: x-10-1=y-12,5-1 или x-1-1=y-11,5 ⇒1,5∙x-1=-1∙y-1⇒y-1=1,5∙x-1-1 ⇒
⇒y=-1,5x+1,5+1,окончательно, прямая AМ: y=-1,5x+2,5.
5)Составим уравнение высоты ВН. Для этого воспользуемся формулой:
x-xByC-yA=y-yAxA-xC . Подставим соответствующие координаты, получим:
x-42-1=y-31-(-4) ⇒ x-41=y-35 ⇒5∙x-4=y-3 ⇒y=5x-20+3 ,
окончательно, ВН: y=5x-17.
6)Найдем длину высоты ВН.
Расстояние от точки Bx0; y0=В( 4; 3 ) до прямой AC: Ax+By+C=0 можно найти по формуле d=ax0+by0+ca2+b2
Составим уравнение прямой АС: x-xAxC-xA=y-yAyC-yA ⇒x-1-4-1=y-12-1 ⇒x-1-5=y-11⇒
⇒x-1=-5y+5⇒x+5y-6=0