Даны вершины треугольника ABC

Периметр треугольника равен сумме длин сторон. Для начала найдем вектора всех сторон, а потом их длину.
Напишем вектора сторон треугольника:
АВ=(хВ-хА),(yВ-yА)=(8-2),(1-(-2))=6,3
ВС=(хС-хВ),(yС-yВ)=(5-8),(4-1)=-3,3
CA=(хA-хC),(yA-yC)=(2-5),(-2-4)=-3,-6
Находим длину векторов:
АВ=х2+y2=62+32=36+9=45=35
ВС=х2+y2=(-3)2+32=9+9=18=32
СА=х2+y2=(-3)2+(-6)2=9+36=45=35
Периметр треугольника равен:
Р=АВ+ВС+СА=35+32+35=65+32
Напишем уравнение прямой АВ:
Чтобы написать уравнение прямой АВ, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA
x-28-2=y-(-2)1-(-2) x-26=y+23
Или
2у – х + 6 = 0
Уравнение медианы треугольника из вершины А.
Обозначим середину стороны BC буквой М . Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
хМ=хВ+xС2=8+52=132
уМ=уВ+уС2=1+42=52
Точка М имеет координаты (13/2, 5/2).
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-2) и М(13/2;5/2), поэтому:
x-xAxМ-xA=y-yAyМ-yA
x-2132-2=y-(-2)52-(-2) x-292=y+292
Уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Прямая, проходящая через точку С(xс;yс) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 (АВ) имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
x-xСА=y-yСВ
Найдем уравнение высоты через вершину C
x-5-1=y-42
Или 2х+у-14=0
Уравнение прямой, проходящей через С параллельно прямой AB
Уравнение прямой АВ: 2у - х + 6 = 0
Уравнение СD параллельно AB находится по формуле:
y-y0=k(x-x0)
Подставляя x0 = 5, k = 1/2, y0 = 4 получим:
y-4=12(x-5) или 2у – х – 3 =0
Точка пересечения высот