Даны вершины пирамиды SPMN. Найти следующие величины

Длина ребра SN
Найдем длину ребра SN по формуле
SN=xN-xS2+yN-yS2+zN-zS2
SN=1-12+1-02+2-02=5ед.≈2,24ед.
Уравнение ребра SN
Уравнение ребра SN найдем по формуле x-xSxN-xS=y-ySyN-yS=z-zSzN-zS
x-11-1=y-01-0=z-02-0;x-10=y1=z2
Уравнение грани SPN
Уравнение плоскости, проходящее через три точки
x1;y1;z1,x2;y2;z2, x3;y3;z3 , не лежащих на одной прямой имеет вид
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
x-1y-0z-00-1-2-00-01-11-02-0=x-1yz-1-20012=
Разложим определитель по первой строке
=x-1-2012-y-1002+z-1-201=
=x-1-2∙2-1∙0-y-1∙2-0+z-1∙1-0∙-2=
=-4x-1+2y-z=-4x+4+2y-z
4x-2y+z-4=0- уравнение грани SPN
Площадь грани SPN
Найдем площадь грани SPN с использованием векторного произведения двух векторов
SSPN=12SPхSN
SP=xP-xS;yP-yS;zP-zS=0-1;-2-0;0-0=-1;-2;0
SN=xN-xS;yN-yS;zN-zS=1-1;1-0;2-0=0;1;2
SPхSN=ijk-1-20012=
Разложим определитель по первой строке
=i-2012-j-1002+k-1-201=
=i-2∙2-1∙0-j-1∙2-0+k-1∙1-0∙-2=-4i+2j-k
Тогда площадь грани равна
SSPN=12-42+22+-12=212ед.2≈2,29ед.2
Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN
Уравнение плоскости, проходящее через три точки
x1;y1;z1,x2;y2;z2, x3;y3;z3 , не лежащих на одной прямой имеет вид
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
x-0y-(-2)z-00-00-(-2)3-01-01-(-2)2-0=xy+2z023132=
Разложим определитель по первой строке
=x2332-(y+2)0312+z0213=
=x2∙2-3∙3-(y+2)0∙2-1∙3+z0∙3-1∙2=
=-5x+3y+2-2z=-5x+3y+6-2z
5x-3y+2z-6=0- уравнение грани PMN
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой для нахождения уравнения высоты SH, учитывая, что в качестве направляющего вектора прямой SH служит нормаль к плоскости PMN вектор 5;-3;2, и прямая SH проходит через точку S1;0;0
x-15=y-0-3=z-02;x-15=y-3=z2
Длина высоты, опущенной из вершины S на грань PMN
длину высоты, проведенной из вершины S1;0;0 найдем по формуле
d=A x1+B y1+Cz1+DA 2+B 2+C2
5x-3y+2z-6=0- уравнение грани PMN
d=5∙1 -3∙0 +2∙0-65 2+(-3) 2+22=138≈0,16ед.2
g