Даны вершины A10 6 -1 A23 -8 2 A34 -1 0

1) Длину ребра A1A2;
A1A2=3-0,-8-6,2+1=3,-14,3-направляющий вектор A1A2
A1A2=32+-142+32=214.
2) угол между ребрами A1A2, A1A4;
A1A4=2-0,1-6,-4+1=2,-5,-3-направляющий вектор A1A4
cosα=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4=3∙2+-14∙-5+3∙-321422+-52+-32=6721438=
=6722033,
Тогда
α=arccos6722033.
3) уравнение грани A1A2A3 и ее площадь
Уравнение грани A1A2A3 найдём через три известные точки:
x-xA1y-yA1z-zA1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0,
x-0y-6z+13-0-8-62+14-0-1-60+1=xy-6z+13-1434-71=x-143-71-
-y-63341+z+13-144-7=7x+9y-6+35z+1=
=7x+9y-54+35z+35=7x+9y+35z-19=0, или
7x+9y+35z-19=0.
Площадь грани A1A2A3 равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть A1A2 и A1A3.
SA1A2A3=12A1A2×A1A3.
A1A3=4-0,-1-6,0+1=4,-7,1
Найдём A1A2×A1A3=ijk3-1434-71=i-143-71-j3341+
+k3-144-7=7i+9j+35k.
SA1A2A3=12A1A2×A1A3=1272+92+352=121355=13552.
4) уравнение высоты опущенной из вершины A4на грань A1A2A3;
Так как высота, опущенная из вершины A4 на плоскость A1A2A3, к ней перпендикулярна то нормальный вектор n=7;9;35 этой плоскости будет параллелен высоте, поэтому его можно принять за направляющий вектор