Даны координаты вершин пирамиды ABCD.
1)Найти длину вектора AB;
2) угол между векторами AB и AC;
3) проекцию вектора AC на вектор AB;
4) площадь грани ABC;
5) уравнение грани ABC;
6) уравнение ребра AD;
7) угол между ребром AD и гранью ABC;
8) смешанное произведение векторов AB,AC,AD и V-объём пирамиды ABCD;
9) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC и её длину;
10) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани ABC.
A2;5;8;B5;2;2;C1;4;2;D(3;0;7)
Решение
1)Найдём координаты вектора AB, вычитая из координат конца вектора координаты начала вектора, получим:
AB5-2;2-5;2-8=(3;-3;-6)
Теперь найдём длину вектора:
AB=32+-32+-62=9+9+36=54
2) Угол между векторами AB и AC найдём, используя следующую формулу:
cosφ=AB*ACAB*AC
Определим координаты вектора AC и его длину, получим:
AC1-2;4-5;2-8=(-1;-1;-6)
AC=-12+-12+-62=1+1+36=38
Тогда:
cosφ=AB*ACAB*AC=3*-1+-3*-1+-6*(-6)54*38=0,795
φ=arccos0,795≈37,372°
3) Найдём проекцию вектора, используя следующую формулу:
ПрACAB=AB*ACAC
Тогда получим, что:
ПрACAB=AB*ACAC=3*-1+-3*-1+-6*(-6)38=3638≈5,84
4) Для того чтобы найти площадь грани, используем следующую формулу:
SABC=12*AB*AC*sinφ
В данной формуле:
sinφ=1-cos2φ
Косинус угла между векторами AB и AC нашли ранее, поэтому:
sinφ=1-cos2φ=1-0,7952≈0,607
Тогда искомая площадь грани:
SABC=12*AB*AC*sinφ=12*54*38*0,607≈13,748
5) Найдём уравнение грани ABC как уравнение плоскости, проходящей через три точки, получим:
x-2y-5z-83-3-6-1-1-6=0
Раскроем определитель, используя разложение по первой строке, получим:
x-2y-5z-83-3-6-1-1-6=x-2*-3-6-1-6-y-5*3-6-1-6+z-8*3-3-1-1=x-2*-3*-6--1*-6-y-5*3*-6--1*-6+z-8*3*-1--1*-3=x-2*18-6-y-5*-18-6+z-8*-3-3=x-2*12-y-5*-24+z-8*-6=12x-24+24y-120-6z+48=12x+24y-6z-96=0
Упростим выражение, получим искомое уравнение грани ABC:
2x+4y-z-16=0
6) Найдём уравнение ребра AD как уравнение прямой, проходящей через две точки, получим:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Используя координаты точек A и D, получаем, что канонические уравнения ребра AD выглядят так:
x-23-2=y-50-5=z-87-8
x-21=y-5-5=z-8-1
7) Синус угла между прямой с направляющим коэффициентом (l;m;n) и плоскостью с нормальным вектором (A;B;C) найдём по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2
Тогда:
sinγ=2*1+4*-5+-1*(-1)22+42+12*12+52+12≈0,714
γ=arcsin0,714≈45,563°
8) Найдём смешанное произведение векторов AB,AC,AD:
3-3-6-1-1-61-5-1=3*-1*-1+-3*-6*1+-6*-1*-5-1*-1*-6--5*-6*3--1*-1*-3=3+18-30-6-90+3=-102
Теперь найдём объём пирамиды ABCD:
V=16*3-3-6-1-1-61-5-1=16*-102=16*102=17
9) Найдём уравнение высоты, получим:
x-32=y-04=z-7-1
Найдём длину высоты, проведённую через вершину D:
d=2*3+4*0+-1*7-1622+42+12=1721≈3,71
10) Искомое уравнение плоскости выглядит так:
2*x-3+4*y-0-1*z-7=2x-6+4y-z+7=2x+4y-z+1=0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
