Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

1.Найти длину ребра А1 А2.
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12
A1A2=6-42+9-62+4-52=4+9+1=14 ≈3,74 ед
2. Найти угол между ребрами А1А2 и А1 А4.
A1A2∙A1A4=A1A2∙A1A4∙cosA1A2, A1A4, отсюда
cosφ=m1∙p1+m2∙p2+m3∙p3m12+m22+m32∙p12+p22+p32,
где A1A2=m1;m2;m3 иA1A4=p1;p2;p3.
A1A2=6-4;9-6;4-5=2;3;-1и
A1A4=7-4;5-6;9-5=3;-1;4,
cosφ=2∙3+3∙-1+-1∙422+32+-12∙32+-12+42=-114∙26=-91182,
значит ∠φ=arccos-91182.
3. Найти угол между ребром А1А4и гранью А1А2А3.
Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3вычисляется по формуле:
sinφ=A∙p1+B∙p2+C∙p3A2+B2+C2∙p12+p22+p32,
где A1A4=p1;p2;p3 направляющий вектор прямой А1 А4, а n=A;B;C - нормальный вектор плоскости (А1 А2А3).
A1A4=3;-1;4.
Составим уравнение плоскости(А1 А2А3).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки
А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4) и А3 (2; 10; 10) имеет вид:
x-4y-6z-56-49-64-52-410-610-5=0; x-4y-6z-523-1-245=0;
x-4∙3-145-y-6∙2-1-25+z-5∙23-24=0;
x-4∙3∙5--1∙4-y-6∙2∙5--1∙-2+
+z-5∙2∙4-3∙-2=0;
19x-4-8y-6+14z-5=0;
19x-8y+14z-76+48-70=0;
19x-8y+14z-98=0-уравнение плоскости А1А2А3.
n=19;-8;14- нормальный вектор плоскости А1А2А3.
sinφ=19∙3+-8∙-1+14∙4192+-82+142∙32+-12+42=121621∙26=12117945382,
отсюда∠φ=arcsin12117945382.
4 . Найти площадь грани А1 А2А3.
Найдем векторное произведение векторов A1A2=2;3;-1 и A1A3=-2;4;5.
Sпараллелограмма=с, с=A1A2,A1A3=A1A2×A1A3=ijk23-1-245=
=3∙5--1∙4∙i-2∙5--1∙-2∙j+2∙4-3∙-2∙k=
=19i-8k+14k
c=19;-8;14
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е