Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

Координаты векторов.
A1A2=0;7;2-4;2;5=-4;5; -3
A1A3=0;2;7-4;2;5=-4; 0; 2
A1A4=1;5;0-4;2;5=-3; 3; -5
1) длину ребра A1A2
A1A2=-42+52+-32=50
2) уравнение прямой A1A2
Прямая, проходящая через точки A1x1; y1; z1 и A2x2; y2; z2, представляется уравнениями:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Уравнение прямой A1A2-4;5; -3
x-4-4=y-25=z-5-3
3) угол между ребрами A1A2 и A1A4
Угол между векторами можно найти по формуле:
cosB=A1A2*A1A4A1A2*A1A4Найдем угол между ребрами A1A2-4;5; -3 и A1A4-3; 3; -5:
A1A4=-32+32+-52=43
cosα=-4*-3+5*3+-3*-550*43≈0.906
α=arccos0.906≈0.437
4) уравнение плоскости A1A2A3
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A3x3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-4y-2z-5-45-3-402=0
x-4*5*2-0*-3- y-2*-4*2--4*-3+ z-5*-4*0--4*5=10x + 20y + 20z-180=0
Уравнение плоскости A1A2A3: x+2y+2z-18=0
5) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2
Уравнение прямой A1A4:
x-4-3=y-23=z-5-5
sinγ=1*-3+2*3+2*-512+22+22*-32+32+-52=0.356
γ =arcsin0.356=0.364
6) площадь грани A1A2A3
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12*A1A2*A1A3
A1A2*A1A3=ijk-45-3-402=i5*2-0*-3- j-4*2--4*-3+ k-4*0--4*5= 10i+20j+20k
A1A2*A1A3=102+202+202=900=30
S=12*A1A2*A1A3=302=15
7) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах A1A2x1;y1;z1, A1A3x2;y2;z2, A1A4x3;y3;z3 равен:
V=16*x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V=16*-45-3-402-33-5=16*-4*0*-5-3*2-5*-4*-5--3*2+-3*-4*3--3*0=706=353
Сделаем чертеж