Даны координаты точек. Средствами векторной алгебры и аналитической геометрии

1) Найдём угол как угол между векторами A1A2 и A2A3:
Сначала найдём координаты данных векторов:
A1A2=0-3;2-3;2-2=(-3;-1;0)
A1A3=-1-3;-3-3;1-2=(-4;-6;-1)
cosφ=-3*-4+-1*-6+0*(-1)-32+-12+02*-42+-62+-12=12+6+09+1+0*16+36+1=1810*53=0,782
φ=arccos0,782=38,569°
2) Найдём площадь треугольника с учётом геометрического смысла векторного произведения:
SA1A2A3=12*A1A2*A1A3
Найдём векторное произведение векторов:
A1A2*A1A3=ijk-3-10-4-6-1=i*-10-6-1-j*-30-4-1+k*-3-1-4-6=i*-1*-1--6*0-j*-3*-1--4*0+k*-3*-6--4*-1=i*1-0-j*3-0+k*18-4={1;-3;14}
SA1A2A3=12*A1A2*A1A3=12*12+-32+142=12*1+9+196=12*206≈7,176
3) Найдём проекцию вектора на вектор, используя следующую формулу:
Прba=a*bb
Получаем:
ПрA1A2A1A4=-6*-3+-4*-1+3*0-32+-12+02=18+4+09+1+0=2210=11105≈6,957
4) Найдём координаты вектора A1A4:
A1A4=-3-3;-1-3;5-2=(-6;-4;3)
Найдём объём пирамиды:
V=16*-3-10-4-6-1-6-43=16*-3*-6*3+-1*-1*-6+0*-4*-4--6*-6*0--4*-1*-3-3*-4*-1=16*54-6+0-0+12-12=16*48=8
5) Найдём уравнение искомой плоскости:
x-3y-3z-2-3-10-4-6-1=0
x-3*-10-6-1-y-3*-30-4-1+z-2*-3-1-4-6=x-3*-1*-1--6*0-y-3*-3*-1--4*0+z-2*-3*-6--4*-1=x-3*1-0-y-3*3-0+z-2*18-4=x-3*1-y-3*3+z-2*14=x-3-3y+9+14z-28=x-3y+14z-22=0
6) Каноническое уравнение искомой прямой имеет вид:
x+31=y+1-3=z-514
7) Найдём искомое расстояние от точки до плоскости по следующей формуле:
d=A*x+B*y+C*z+DA2+B2+C2
Получим:
d=1*-3+-3*-1+14*5-2212+-32+142=-3+3+70-221+9+196=48206=24206103≈3,344
8) Найдём уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через две точки, получим:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
x-3-6=y-3-4=z-23
Направляющий вектор прямой имеет вид:
s=(-6;-4;3)
Вектор нормали плоскости выглядит так:
q=(1;-3;14)
Тогда:
sinφ=cosω=s*qs*q=1*-6+-3*-4+3*1412+-32+142*-62+-42+32=-6+12+42206*61=4812566≈0,4282
φ=arcsin0,4282≈25,353°