Даны координаты четырех точек A

А) Для того чтобы написать уравнение плоскости нужна произвольная точка на этой плоскости и два вектора, параллельные плоскости.
АВС: A 2, –1, 3, AB=2, 8, –6,AC= (-3, 3, -3) .
Находим уравнение плоскости АВС по данной точке и двум направляющим векторам:
x-2y--1z-328-6-33-3=
=x-2∙8-63-3-y+1∙2-6-3-3+z-328-33=
=x-2∙-24+18-y+1∙-6-18+z-36+24=
=-6∙x-2+24∙y+1+30∙z-3=-6x+24y+30z-54=0
АВС: x-4y-5z+9=0.
Ответ. АВС : x-4y-5z+9=0.
б) Площадь треугольника можно найти с помощью приложений векторного произведения: . SABC AB , AC.
Площадь ΔABC, построенного на векторах AB и AC, равна половине длины их векторного произведения.
Вычисляем векторное произведение:
AB , AC=ijk28-6-33-3=i∙8-63-3-j∙2-6-3-3+k∙28-33=
=i∙-24+18-j∙-6-18+k∙6+24=-6i+24j+30k
Найдем длину полученного вектора:
AB , AC=-62+242+302=36+576+900=642
Тогда SABC12AB , AC=342.
Ответ. SABC=342.
в) Двумя способами найти длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС.
1 способ: через приложение смешанного произведения векторов к вычислению объема тетраэдра.
272415000
Объем тетраэдра, с одной стороны, равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, на которых он построен:
VABCD=16AB ,AC ,AD