Даны дифференциальные уравнения второго порядка

Данное уравнение в явном виде не имеет y, поэтому решается заменой
y'=px, y''=p'
Имеем:
xp'-p=x3sinx
Получили линейное уравнение первого порядка, которое решается заменой
p=UV, p'=U'V+UV'
Имеем:
xU'V+UV'-UV=x3sinx
xU'V+U(xV'-V)=x3sinx
Составим систему:
xV'-V=0xU'V=x3sinx
Решим первое уравнение системы:
xV'-V=0
xdVdx=V
dVV=dxx
lnV=lnx→V=x
Подставим во второе уравнение системы:
xU'x=x3sinx
U'=xsinx
Интегрируем:
U=xsinxdx=Интегрирование по частямUdV=UV-VdUПусть U=x→dU=dxdV=sinxdx→V=sinxdx=-cosx=
=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+C1
Возвращаемся к замене:
y'=p=UV=x-xcosx+sinx+C1
Интегрируем:
y=x-xcosx+sinx+C1dx=-x2cosxdx+xsinxdx+C1xdx
Интегрируем отдельно:
а)x2cosxdx=Интегрирование по частямUdV=UV-VdUПусть U=x2→dU=2xdxdV=cosxdx→V=cosxdx=sinx=
=x2sinx-2xsinxdx=Данный интеграл решался=
=x2sinx-2-xcosx+sinx+C2
б)xsinxdx=Данный интеграл решался=-xcosx+sinx+C2
в) C1xdx=C1x22+C2=Положим, чтоC12=C1=C1x2+C2
В итоге имеем общее решение дифференциального уравнения:
y=-x2sinx-2xcosx+2sinx-xcosx+sinx+C1x2+C2
y=-x2sinx-3xcosx+3sinx+C1x2+C2