Даны декартовы координаты точек А В С

AB-7, 3, 0, AC-14, -1, -2, BC(-7, -4, -2)
AB=72+32+02=58
AC=142+12+22=201
BC=72+42+22=69
Площадь треугольника АВС
S=12AB×AC
c=AB×AC=ijkaxayazbxbybz=ijk-730-14-1-2=i30-1-2-j-70-14-2+k-73-14-1=-6i-14j+49k = {-6; -14; 49}
c=62+142+492=2633
S=122633≈25.656
Длина высоты АН, проведенной из вершины А в треугольнике АВС
Уравнение стороны ВС:
x-6-7=y-2-4=z-3-2
Длина высоты АН есть расстояние от точки А до прямой ВС
s=-7, -4, -2-направляющий вектор прямой
B6, 2, 3-точка лежащая на прямой
AB=(-7, 3, 0)
d=AB×ss=263369≈6.177
Длина медианы ВМ, проведенной из вершины В в треугольнике АВС
Середина отрезка АС:
M13-12;-1-22;3+12=(6, -1.5, 2)
BM(0, -3.5, -1)
BM=02+3.52+12=13.25≈3.64
Величина угла АВС
cosAB, BC=AB∙BCAB|BC|=7*7-3*4-0*25869=0.585
∠ABC=arccos0.585=54.207°
Доказать, что cos2α+sin2α=1, где α – угол между векторами АВ и АС
cosα=7*14-3*1-0*258201=0.88
α=arccos0.88=28.376°
cos2α+sin2α=0.98969956+0.01030044=1
Уравнение высоты АН в треугольнике АВС
Можно воспользоваться двойным векторным произведением и найти направляющий вектор высоты:
BC×BA=ijk-7-4-2-730=i-4-230-j-7-2-70+k-7-4-73=6i+14j-49k = {6; 14; -49}
[BC×BC×BA=ijk-7-4-2614-49=i-4-214-49-j-7-26-49+k-7-4614=224i-355j-74k = {224; -355; -74}
AH:x-13224=y+1-355=z-3-74
Уравнение медианы ВМ в треугольнике АВС
BM:x-60=y-2-3.5=z-3-1
Проекцию вектора АВ на вектор АС
Prab=a∙b|a|=7*14-3*1-0*2201=6.701
Направляющие косинусы вектора ВС
BC=69
cosα=-769;cosβ-469;cosγ-269
Уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно прямой АС
AC:x-13-14=y+1-1=z-3-2
a:x-6-14=y-2-1=z-3-2
Объем пирамиды ABCD, если D(-3, 0, 1)
AD(-16, 1, -2)
V=16-730-14-1-2-161-2=16-7*-1*-2-1*-2--14*3*-2-1*0+-16*3*-2--1*0=166