Даны вершины пирамиды A13 3 9 A26 9 1 A31

Запишем координаты векторов:
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=6-3;9-3;1-9=(3;6;-8)
A1A3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=1-3;7-3;3-9=(-2;4;-6)
A1A4=x4-x1;y4-y1;z4-z1=8-3;5-3;8-9=(5;2;-1)
Длину ребра A1A2 найдем как длину вектора A1A2
A1A2=32+62+(-8)2=109
Угол между ребрами A1A2 и A1A4 найдем как угол между соответствующими векторами, используя свойство скалярного произведения:
cosα=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4=3∙5+6∙2+-8∙-1109∙52+22+(-1)2=35109∙30≈0,612
α=arccos(0,612)≈52,27°
Площадь грани, построенной на векторах A1A2, A1A3 найдем, используя свойство векторного произведения:
S=12∙A1A2×A1A3
A1A2×A1A3=ijk36-8-24-6=-36i+16j+12k+12k+18j+32i=-4i+34j+24k
A1A2×A1A3=(-4;34;24)
A1A2×A1A3=(-4)2+342+242=1748=2437
S=12∙2437=437 кв.ед.
Объем пирамиды построенной на векторах A1A2, A1A3, A1A4 найдем, используя свойство смешанного произведения:
V=16∙(A1A2×A1A3)∙A1A4
A1A2×A1A3∙A1A4=-4∙5+34∙2+24∙-1=24
V=246=4 куб.ед.
Вектор A1A2×A1A3 является направляющим высоты, опущенной из вершины A4