Даны вершины пирамиды A(1 3 2) B(0 6 2)

A) Длину ребра AD;
AD=3-1,2-3,7-2=2,-1,5-направляющий вектор AD
AD=22+-12+52=30.
б) площадь грани ABC;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть AB и AC.
SABC=12AB×AC.
AB=0-1,6-3,2-2=-1,3,0-направляющий вектор AB
AC=4-1,0-3,0-2=3,-3,-2-направляющий вектор AC
Найдём AB×AC=ijk-1303-3-2=i30-3-2-j-103-2+
+k-133-3=-6i-2j-6k.
SABC=12AB×AC=12-62+-22+-62=1276=19.
в) объём пирамиды
Объём пирамиды равен одной шестой от объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD . Находим смешанное произведение этих векторов:
AB∙ AC∙ AD=-1303-3-22-15=раскалдываем по первой строке=
=-1-3-2-15-33-225=--15-2-315+4=17-57=
=-40.
Значит,
VABCD=16∙-40=406=203.
г) каноническое и параметрическое уравнения прямой AD;
Составим каноническое уравнение прямой AD, направляющий вектор которой есть AD=2,-1,5 и проходящей через точку A=1,3,2:
x-12=y-3-1=z-25.
Составим параметрическое уравнение прямой:
x=1+2ty=3-tz=2+5t
д) уравнение плоскости ABC;
Уравнение плоскости ABC найдём через три известные точки:
x-xA1y-yA1z-zA1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0,
x-1y-3z-20-16-32-24-10-30-2=x-1y-3z-2-1303-3-2=x-130-3-2-
-y-3-103-2+z-2-133-3=-6x-1-2y-3-6z-2
=-6x+6-2y+6-6z+12=-6x-2y-6z+24=0, или
-3x-y-3z+12=0.
е) каноническое уравнение высоты пирамиды опущенной из вершины D на грань ABC;
Высота, опущенная на грань ABC имеет вектор нормали (направляющий) вектор нормали самой грани ABC: -3x-y-3z+12=0, s=-3,-1,-3
Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку D=(3,2,7) и имеющей направляющий вектор s=-3,-1,-3 имеет вид
x-3-3=y-2-1=z-7-3-каноническое уравнение высоты.
ж) расстояние от вершины D до плоскости ABC.
Объём пирамиды равен одна треть от площади основания, умноженную на высоту:
VABCD=13SABC∙h⟹h=3VS=3∙20319=2019=201919.