Логотип Автор24реферат
Задать вопрос
%
уникальность
не проверялась
Контрольная работа на тему:

Даны вершины пирамиды 𝑆𝑃𝑀𝑁 𝑆(4 0 0) 𝑃

уникальность
не проверялась
Аа
3916 символов
Категория
Высшая математика
Контрольная работа
Даны вершины пирамиды 𝑆𝑃𝑀𝑁 𝑆(4 0 0) 𝑃 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Даны вершины пирамиды 𝑆𝑃𝑀𝑁: 𝑆(4,0,0); 𝑃(0,2,0); 𝑀(0,0,1); 𝑁(5,8,2). Найти: 1) длину ребра 𝑆𝑁; 2) уравнение ребра 𝑆𝑁; 3) уравнение грани 𝑆𝑃𝑁; 4) площадь грани 𝑆𝑃𝑁; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁; 6) длину высоты, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁; 7) угол между ребрами 𝑆𝑃 и 𝑆𝑁 (в градусах); 8) угол между ребром 𝑆𝑃 и гранью 𝑃𝑀𝑁 (в градусах); 9) объем пирамиды. В ответах надо приводить уравнения плоскостей и прямых в виде 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 и x-x0m=y-y0n=z-z0p . Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

1) SN≈8,31. 2) x-41=y8=z2. 3) 2x+4y-17z-8=0. 4) SSPN≈17,58 ед2. 5) x-42=y-1=z-2. 6) 3,33 . 7) 71° 10’. 8) 26° 21'. 9) 8,33 ед.3. 𝑆(4,0,0); 𝑃(0,2,0); 𝑀(0,0,1); 𝑁(5,8,2). SxS; yS; zS; PxP; yP; zP; MxM; yM; zM; NxN; yN; zN SN(xSN; ySN; zSN ) SP(xSP; ySP; zSP

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Сделаем рисунок.
Введем обозначения. Пусть SxS; yS; zS; PxP; yP; zP; MxM; yM; zM; NxN; yN; zN;
SN(xSN; ySN; zSN ); SP(xSP; ySP; zSP )
Найдем длину ребра 𝑆𝑁:
Длину ребра SN найдем как длину вектора SN:
Найдем координаты
SN=xN-xS;yN-yS;zN-zS=5-4;8-0;2-0=1;8;2;
SN=xN-xS2+yN-yS2+zN-zS2=
=12+82+22=1+64+4=69≈8,31.
2) Напишем уравнение ребра 𝑆𝑁 по формуле:
x-xSxSN=y-ySySN=z-zSzSN; x-41=y-08=x-02 ⇒ x-41=y8=z2.
3) Напишем уравнение грани 𝑆𝑃𝑁:
Уравнение грани напишем как уравнение плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора SN, SP :
x-xSy-ySz-zSxSNySNzSNxSPySPzSP=0.
Найдем координаты вектора SP:
SP=xP-xS;yP-yS;zP-zS=0-4;2-0;0-0=-4;2;0. Подставим в уравнение плоскости:
x-4y-0z-0-420182=0 ⇒ x-4yz-420182=0 ⇒
x-4∙2082-y∙-4012+z∙-4218=0;
x-4∙2∙2-8∙0-y∙-4∙2-1∙0+z∙-4∙8-1∙2=0;
x-4∙4-y∙-8+z∙-32-2=0;
4x-16+8y-34z=0;
2x+4y-17z-8=0.
4) Найдем площадь грани 𝑆𝑃𝑁:
Площадь грани SPN найдем по формуле:
SSPN=12SN×SP=12ijkxSNySNzSNxSPySPzSP=12ijk-420182=
=122082i--4012j+-4218k=
=122∙2-8∙0i--4∙2-1∙0j+-4∙8-1∙2k=124i+8j-34k=
=1242+82+-342=1216+64+1156=121236=309≈17,58.
5) Найдем уравнение высоты SS1, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁:
x-xSxPMN=y-ySyPMN=z-zSzPMN , где xPMN; yPMN; zPMN- координаты нормального вектора плоскости PMN.
Найдем уравнение плоскости PMN .
x-xPy-yPz-zPxM-xPyM-yPzM-zPxN-xPyN-yPxN-zP=0 ⇒ x-0y-2z-00-00-21-05-08-22-0=0 ⇒ xy-2z0-21562=0 ⇒
x∙-2162-y-20152+z∙0-256=0;
x∙-2∙2-6∙1-y-2∙0∙2-5∙1+z∙0∙6-5∙-2=0;
x∙-10-y-2∙-5+z∙10=0;
-10x+5y-10+10z=0;
2x-y-2z+2=0 ⇒ xPMN=2; yPMN=-1; zPMN=-2 ⇒NPMN=2; -1; -2.
Подставим в уравнение высоты, получаем:
x-42=y-1=z-2.
6) Найдем длину высоты SS1, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁:
SS1=3VSPMN.
Найдем объем пирамиды:
V=16SP∙SM×SN=16∙xSPySPzSPxSMySMzSMxSNySNzSN
SP=-4;2;0; SN=1;8;2
Найдем координаты вектора SM:
SMxM-xS; yM-yS; zM-zS =0-4;0-0;1-0=-4;0;1.
Поучаем:
V=16-420-401182=16-4∙0182-2∙-4112+0∙-4018=
=16-4∙0∙2-8∙1-2∙0∙2-1∙1+0=16-4∙-8-2∙-1=
=1632+18=1650=253;
Найдем площадь грани (PMN) по формуле:
SPMN=12PM×PN=12ijkxM-xPyM-yPzM-zPxN-xPyN-yPzN-zP=12ijk0-00-21-05-08-22-0=
=12ijk0-21562=12-2162i-0152j+0-256k=
=12-2∙2-6∙1i-0∙2-5∙1j+0∙6-5∙-2k=12-4-6i+5∙j+10k=
=12-10i+5j+10k=12-102+52+102=12100+25+100=12225=12∙15=
=152=7,5.
Тогда SS1=3VSPMN=3∙2537,5=257,5≈3,33.
7) Найдем угол между ребрами 𝑆𝑃 и 𝑆𝑁 (в градусах) по формуле:
∠PSN=arccosSP∙SNSP∙SN,
SN=1;8;2; SN=69; SP=-4;2;0; SP=-42+22+02=16+2=20
∠PSN=arccos1∙-4+8∙2+2∙069∙20=arccos-4+16+0269∙5=arccos122345=
=arccos6345=arccos6∙345345=arccos2345115=arccos0,3230
По таблице Брадиса находим угол:
∠PSN=71° 10'.
8) Найдем угол между ребром 𝑆𝑃 и гранью 𝑃𝑀𝑁 (в градусах):
Угол между прямой 𝑆𝑃 и гранью 𝑃𝑀𝑁 найдем по формуле:
∠SP,PMN=arcsinSP∙NPMNSP∙NPMN;
SP=-4;2;0; SP=20; NPMN=2; -1; -2;
NPMN=22+-12+-22=4+1+4=9=3.
Получаем:
∠SP,PMN=arcsin-2∙2+2∙-1+0∙-220∙3=arcsin-4-2+025∙3=
=arcsin-665=arcsin15=arcsin55=arcsin0,4472.
По таблице Брадиса найдем угол:
∠SP,PMN=26° 21'.
9) Объем пирамиды: (нашли выше в пункте 6))
V=253≈8,33 ед.3.
Ответ: 1) SN≈8,31.
2) x-41=y8=z2.
3) 2x+4y-17z-8=0.
4) SSPN≈17,58 ед2.
5) x-42=y-1=z-2.
6) 3,33
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу
Больше контрольных работ по высшей математике:

Докажите что имеют место следующие выводимости

259 символов
Высшая математика
Контрольная работа

Вычислить неопределенный интеграл cos3x3sin2xdx

232 символов
Высшая математика
Контрольная работа
Все Контрольные работы по высшей математике
Закажи контрольную работу

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.