Даны векторы a b c d в некотором базисе

Векторы a,b,c образуют базис, когда определитель из их координат отличен от нуля. Составим и вычислим данный определитель по правилу треугольников, получим:
∆=134748325=1*4*5+3*8*3+4*7*2-3*4*4-1*8*2-3*7*5=20+72+56-48-16-105=-21
Так как данный определитель не равен нулю, векторы a,b,c образуют базис.
Вектор d в этом базисе будет иметь следующие координаты:
d=αa+βb+γc
Перепишем в координатной форме, получим:
7;32;14=α1,7,3+β3,4,2+γ(4,8,5)
Получаем следующую систему линейных уравнений:
α+3β+4γ=77α+4β+8γ=323α+2β+5γ=14
Решим данную систему методом Крамера, определитель исходной матрицы мы уже нашли ранее, он равен -21