В таблице для каждого варианта заданы три временных ряда: первый из них представляет валовой национальный продукт (ВНП, в млрд $) за 10 лет уt, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х1t и инвестиции (млрд $) х2t.
Требуется:
а) вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями;
б) построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость уt от факторов х1t и х2t;
в) оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации;
г) проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал;
д) проверить остатки на нормальность распределения;
е) определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно);
Все полученные результаты необходимо интерпретировать.
Номер наблюдения (t=1, 2,…, 10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yt
15 20 22 14 25 28 25 28 30 31
x1t
32 34 41 38 42 48 50 52 54 51
x2t
32 28 26 24 25 23 19 27 22 20
Решение
Решим эту задачу с помощью системы Excel.
Введем данные на рабочий лист:
Рассчитана матрица коэффициентов парной корреляции. Ее коэффициенты говорят о том, что
существует связь между показателями уt и х1t - коэффициент (2,1) равен 0,8893;
существует связь между показателями уt и х2t - коэффициент (3,1) равен -0,6073 (эта связь менее выражена, нежели предыдущая);
существует отрицательная связь между показателями х1t и х2t - коэффициент (3,2) и равная -0,7368.
Построим линейную модель.
Далее в пакете Анализ данных выберем режим Регрессия.
Таким образом, модель линейной регрессии имеет вид:
yt=-12,488+0,732∙x1t+0,1604∙x2t
Построим нелинейную модель вида: Yt=b0∙X1tb1∙X2tb2
Для этого введем переменные lnYt, lnX1t и lnX2t, рассчитаем их значения в отдельных столбцах.
Таким образом, модель нелинейной регрессии имеет вид:
yt=e-3,28∙x1t1,47∙x2t0,27
В линейной модели коэффициент детерминации является высоким R2 = 0,7985, т.е
. на 79,85% модель объясняет зависимость между переменными. Данная модель линейной регрессии является значимой, так как расчетное значение F-статистики Fнабл =13,64 больше табличного равного Fтаб = 4,74. Стандартная ошибка модели равна 3,053.
Для нелинейной модели R2=0,7568, следовательно, нелинейная модель немного хуже описывает зависимость между переменными, чем линейная модель. Модель нелинейной регрессии является значимой, так как расчетное значение F-статистики Fнабл =10,89 больше табличного равного Fтаб =4,74. Стандартная ошибка модели равна 0,156.
Линейная модель. Параметры x1t и x2t положительно влияют на yt, свободная переменная также вносит положительный вклад в значение yt. Значимость параметров определяется по величине t-статистики. Т.к. значение t-статистики свободной переменной по модулю меньше t(таб)=1,89, то этот параметр является не значимым. Параметр x1t имеет t-статистику равную 3,83, а x2t равную 0,387, следовательно, только параметр x1t является значимым параметром модели.
Доверительные интервалы коэффициентов (с уровнем доверительной вероятности 0,95) равны:
-52,1525<b0<27,1765
0,2795<b1<1,1839
-0,7539<b2<1,0748
Нелинейная модель
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
