Даны координатывершин треугольника ABC.
Найти:
а) Длину сторон AB, BC, AC
б) Уравнения сторон AС, AB, BC и их угловые коэффициенты
в) Угол B
г) Уравнение высоты CD
д) Уравнение медианы AE
е) Площадь треугольника ABC
ж) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC
По результатам решения сделать чертеж
A1;-2; B7;1;C(3;7)
Ответ
а) 35ед.;213ед.;85ед.;б) y=92x-132;kAC=92;y=12x-52;kAB=12;
y=-32x+232;kBC=-32;в)≈82,870;г)y=-2x+13;д);е)=24ед2.;
ж)x-2y-5≤09x-2y-13≥03x+2y-23≤0
Решение
Длины сторон AB, BC, AC
Расстояние d между точками M1x1;y1 и M2x2;y2 определяется по
формуле:
d=x2-x12+y2-y12
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
AB=7-12+1--22=36+9=45=9∙5=35ед.≈6,71ед.;
Подставив в эту формулу координаты точек B и C, имеем:
BC=3-72+7-12=16+36=52=4∙13=213ед.≈7,21ед.;
Подставив в эту формулу координаты точек A и C, имеем:
AC=3-12+7-(-2)2=4+81=85ед.≈9,22ед.
б) Уравнения сторон AС, AB, BC и их угловые коэффициенты
Уравнение прямой, проходящей через точки x1;y1 и x2;y2 имеет вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Подставив в формулу координаты точек A и C, получим уравнение прямой AC
x-13-1=y--27--2;x-12=y+29
или
9x-1=2y+2;9x-9=2y+4;2y=9x-13;
y=92x-132- уравнение прямой AC
kAC=92- угловой коэффициент прямой AC
Подставив в формулу координаты точек A и B, получим уравнение прямой AB
x-17-1=y--21--2;x-16=y+23
или
3x-1=6y+2;x-1=2y+2;x-1=2y+4;2y=x-5;
y=12x-52 - уравнение прямой AB
kAB=12- угловой коэффициент прямой AB
Подставив в формулу координаты точек B и C, получим уравнение прямой BC
x-73-7=y-17-1;x-7-4=y-16
или
6x-7=-4y-1; 3x-7=-2y-1;3x-21=-2y+2;2y=-3x+23;
y=-32x+232- уравнение прямой BC
kBC=-32- угловой коэффициент прямой BC
в) Угол B
Найдем по формуле
tgφ=k2-k11+k1k2
tg∠B=kAB-kBC1+kBCkAB;kAB=12;kBC=-32
tg∠B=12--321+-32∙12=8
∠B=arctg8≈82,870
г) Уравнение высоты CD
Так как высота CD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку:
kAB=12=>kCD=-2
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1x1;y1в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
y-y1=kx-x1
Подставим координаты точки C3;7 и kCD=-2
y-7=-2x-3
y=-2x+13
д) Уравнение медианы AE
Найдем середину стороны BC, точку E
xE=xB+xC2=7+32=5;yE=yB+yC2=1+72=4
Тогда медиана AE имеет уравнение:
x-xAxE-xA=y-yAyE-yA
x-15-1=y-(-2)4-(-2);x-14=y+26;x-12=y+23;
3x-1=2y+2;3x-3=2y+4;2y=3x-7;
y=32x-72
е) Площадь треугольника ABC
Сначала найдем длину высоты CD как расстояние от точки C до прямой AB
C3;7
Уравнение прямой AB
y=12x-52;2y=x-5;
x-2y-5=0;A=1;B=-2;C=-5
d=Ax1+By1+CA2+B2;
d=1∙3-2∙7-512+(-2)2=165
Площадь треугольника ABC найдем по формуле
SABC=12ah,
где a=AB=35;h=165
SABC=12∙35∙165=24ед2.
ж) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC
АВ: x-2y-5=0
AC:y=92x-132;9x-2y-13=0;
BC:y=-32x+232;3x+2y-23=0
Подставляем в уравнения прямых точки (вершины треугольника), чтобы выделить ту полуплоскость, в которой лежит треугольник:
Сторона AB:x-2y-5=0, подставляем точку C3;7:
3-2∙7-5=-16<0
Сторона AC:9x-2y-13=0, подставляем точку B7;1:
9∙7-2∙1-13=48>0
Сторона BC:3x+2y-23=0, подставляем точку A1;-2:
3∙1+2∙-2-23=-24<0
Получаем систему
x-2y-5≤09x-2y-13≥03x+2y-23≤0
Сделаем чертеж
Ответ: а) 35ед.;213ед.;85ед.;б) y=92x-132;kAC=92;y=12x-52;kAB=12;
y=-32x+232;kBC=-32;в)≈82,870;г)y=-2x+13;д);е)=24ед2.;
ж)x-2y-5≤09x-2y-13≥03x+2y-23≤0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
