Даны координаты вершин треугольника ABC A-4

Построим треугольник:
Длину стороны AB найдем по формуле:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(8+4)2+(1-10)2=144+81=225=15
Величину угла A найдем по формуле:
tg A=k2-k11+k1∙k2
k2=yB-yAxB-xA=1-108+4=-912=-34
k1=yC-yAxC-xA=23-1012+4=1316
tg A=-34-13161+(-34)∙1316=-25162564=4 A=arctg 4
Угловой коэффициент прямой AB равен k2. Так как высоты CD перпендикулярна стороне AB, то их угловые коэффициенты связаны соотношением:
kCD∙k2=-1 => kCD=-1k2=43
Составим уравнение высоты CD по формуле:
y-yC=kCD∙(x-xC)
y-23=43∙x-12 => y=43x+7 4x-3y+21=0
Найдем координаты точки E - средины AB по формуле деления отрезка пополам:
xE=xA+xB2=-4+82=2
yE=yA+yB2=10+12=112
Составим уравнение медианы по двум точкам:
x-xCxE-xC=y-yCyE-yC
x-122-12=y-23112-23 x-12-10=y-23-352 x-124=y-237
7x-12=4y-23 7x-4y+8=0
Запишем уравнение высоты из вершины B
kBF∙k1=-1 => kBF=-1k1=-1613
Уравнение высоты BF:
y-yB=kBFx-xB
y-1=-1613x-8 => y=-1613x+14113 16x+13y-141=0
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому точку пересечения найдем как решение системы уравнений:
4x-3y+21=016x+13y-141=0 4x-3y=-2116x+13y=141
Решим систему по формулам Крамера:
∆=4-31613=52+48=100
∆1=-21-314113=-273+423=150 => x=∆1∆=150100=32
∆2=4-2116141=564+336=900 => y=∆2∆=900100=9
Составим уравнение прямой AB
x-xAxB-xA=y-yAyB-xA
x+48+4=y-101-10 x+412=y-10-9 x+44=y-10-3
-3x+4=4y-10 3x+4y-28=0
Длину высоты CD найдем по формуле расстояния от точки до прямой:
CD=3xC+4yC-2832+42=3∙12+4∙23-2832+42=1005=20 (ед.)
Составим общие уравнения прямых AC и BC
AC: x-xAxC-xA=y-yAyC-xA
x+412+4=y-1023-10 x+416=y-1013
13x+4=16y-10 => 13x-16y+212=0
BC: x-xBxC-xB=y-yByC-xB
x-812-8=y-123-1 x-84=y-122 x-82=y-111
11x-8=2y-1 => 11x-2y-86=0
Чтобы определить знаки неравенств, определяющих треугольник будем подставлять координаты противоположной вершины:
AB: 3xC+4yC-28=3∙12+4∙23-28=100>0
AC: 13xB-16yB+212=13∙8-16∙1+212=220>0
BC: 11xA-2yA-86=11∙-4-2∙10-86=-150<0
3x+4y-28≥013x-16y+212≥011x-2y-86≤0