Даны координаты вершин пирамиды ABCD A2. Бесплатный доступ к контрольной работе

Даны координаты вершин пирамиды ABCD A2 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A2;5;-1, B-2;1;-1, C0;-3;-1, D(-2;-2;5) Найти: 1) длину ребра AB; 2) угол между ребрами AB и AD; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой AB; 7) уравнение плоскости ABC; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем координаты следующих векторов:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=-2-2;1-5;-1+1=(-4;-4;0)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=0-2;-3-5;-1+1=(-2;-8;0)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=-2-2;-2-5;5+1=(-4;-7;6)
Длину ребра AB найдем как длину вектора AB:
AB=(-4)2+(-4)2+02=32=42
угол между ребрами AB и AD найдем как угол между соответствующими векторами, используя определение скалярного произведения:
cosφ=AB∙ADAB∙AD=-4∙-4+-4∙-7+0∙6(-4)2+(-4)2+02∙(-4)2+(-7)2+62=
=4442∙101=11202≈0,774
φ=arccos11202≈39,29°
Найдем вектор нормали к плоскости ABC как векторное произведение векторов AB и AC
n=AB×AC=ijk-4-40-2-80=24k n=(0;0;24)
Угол между ребром AD и гранью ABC найдем по формуле:
sinγ=n∙ADn∙AD=0∙(-4)+0∙(-7)+24∙6(-4)2+(-7)2+62∙02+02+242=6101
γ=arcsin6101≈36,66°
Площадь грани, построенной на векторах AB и AC найдем по формуле:
S=12∙AB×AC=242=12 кв.ед.
Объем пирамиды, построенной на векторах AB,AC и AD найдем по формуле:
V=16∙AB×AC∙AD
AB×AC∙AD=-4-40-2-80-4-76=6∙32-8=6∙24=144
V=1446=24 куб.ед.
уравнение прямой AB запишем по формуле:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
x-2-2-2=y-51-5=z+1-1+1
x-2-4=y-5-4=z+10
уравнение плоскости ABC запишем по вектору нормали n и точке A:
nxx-xA+nyy-yA+nzz-zA=0
24z+1=0
z+1=0
Вектор нормали для плоскости ABC является направляющим для высоты, опущенной из точки D
Составим уравнение высоты по направляющему вектору и точке D:
x-xDnx=y-yDny=z-zDnz x+20=y+20=z-524
V=13∙S∙h => h=3VS=24∙312=6

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу