Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:
1) проекцию вектора A1A3 на вектор A1A2;
2) угол между ребрами A1A4 и A1A2;
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3;
4) площадь грани A1A2A3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение плоскости A1A2A3 и расстояние от точки A4 до плоскости;
7) уравнение прямой A1A2 и расстояние от точки A4 до этой прямой;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3;
9) проекцию точки A4 на грань A1A2A3.
Сделать чертеж.
A11;2;4, A24;3;1, A31;4;2, A43;4;4
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Координаты векторов.
A1A2=4;3;1-1;2;4=3;1;-3
A1A3=1;4;2-1;2;4=0;2;-2
A1A4=3;4;4-1;2;4=2;2; 0
1) проекцию вектора A1A3 на вектор A1A2
Проекцию вектора A1A3 на вектор A1A2 можно найти по формуле:
ПрA1A2A1A3=A1A3*A1A2A1A2
A1A2=32+12+-32=19
Найдем проекцию вектора A1A3 на вектор A1A2
ПрA1A2A1A3=0*3+2*1+-2*-319=819
2) угол между ребрами A1A4 и A1A2
Угол между векторами можно найти по формуле:
cosB=A1A2*A1A4A1A2*A1A4Найдем угол между ребрами A1A23;1;-3 и A1A42;2; 0:
A1A4=22+22+02=22
cosα=3*2+1*2+-3*019*22≈0.649
α=arccos0.649≈0.865
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2Уравнение плоскости A1A2A3: 2x+3y+3z-20=0
Уравнение прямой A1A4:
x-32=y-42=z-40
sinγ=2*2+3*2+3*022+32+32*22+22+02≈0.754
γ =arcsin0.754≈0.854
4) площадь грани A1A2A3
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12*A1A2*A1A3
A1A2*A1A3=ijk31-302-2=i*1*-2-2*-3- j*3*-2-0*-3+ k*(3*2-0*1) = 4i + 6j + 6k
A1A2*A1A3=42+62+62=88
S=12*A1A2*A1A3=882=22
5) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах A1A2x1;y1;z1, A1A3x2;y2;z2, A1A4x3;y3;z3 равен:
V=16*x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V=16*31-302-2220=16*3*2*0-2*-2-0*1*0-2*-3+2*1*-2-2*-3=206=103
6) уравнение плоскости A1A2A3 и расстояние от точки A4 до плоскости
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A3x3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-1y-2z-431-302-2=0
x-1*1*-2-2*-3- y-2*3*-2-0*-3+ z-4*3*2-0*1= 4x + 6y + 6z-40 = 0
2x +3y+3z-20= 0
Расстояние d от точки Dx4;y4;z4 до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
d=Ax4+By4+Cz4+DA2+B2+C2
d=2*3+3*4+3*4-2022+32+32=1022
7) уравнение прямой A1A2 и расстояние от точки A4 до этой прямой
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
x-14-1=y-23-2=z-41-4
x-13=y-21=z-4-3
Найдем расстояние A4 от точки до прямой
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
