Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объём пирамиды A1A2A3A4; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3. Сделать чертёж.
32. A14,4,10;A24,10,2;A32,8,4;A4(9,6,4)
Решение
1) Найдём координаты вектора A1A2:
A1A24-4,10-4,2-10=(0,6,-8)
Теперь найдём длину данного ребра (вектора):
A1A2=02+62+-82=0+36+64=100=10
2) Найдём координаты вектора A1A4:
A1A49-4,6-4,4-10=(5,2,-6)
Найдём длину данного вектора:
A1A4=52+22+-62=25+4+36=65
Найдём угол между рёбрами по следующей формуле:
cosγ=A1A2*A1A4A1A2*A1A4
В числителе дроби скалярное произведение заданных векторов, в знаменателе произведение длин векторов, тогда получаем, что:
cosγ=0*5+6*2+-8*(-6)10*65=601065=665≈0,744
γ=arccos0,744≈41,91°
3) Найдём уравнение прямой A1A4 как уравнение прямой, проходящей через две точки, получим:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
x-49-4=y-46-4=z-104-10
x-45=y-42=z-10-6
Направляющие коэффициенты данной прямой выглядят так:
(5;-2;6)
Найдём уравнение плоскости (грани) A1A2A3:
x-4y-4z-1006-8-24-6=0
Раскроем определитель:
x-4y-4z-1006-8-24-6=x-4*6-84-6-y-4*0-8-2-6+z-10*06-24=x-4*6*-6-4*-8-y-4*0*-6--2*-8+z-10*0*4--2*6=x-4*-36+32-y-4*0-16+z-10*0+12=x-4*-4-y-4*-16+z-10*12=-4x+16+16y-64+12z-120=0
-4x+16y+12z-168=0
-x+4y+3z-42=0
Нормальный вектор плоскости выглядит так:
n(-1;4;3)
Найдём длину данного вектора:
n=-12+42+32=1+16+9=26
Тогда:
sinγ=-1*5+4*2+3*(-6)65*26≈0,365
γ=arcsin0,365≈21,408°
4) Найдём площадь грани A1A2A3 с учетом геометрического смысла векторного произведения векторов:
SA1A2A3=12*A1A2×A1A3
Найдём координаты вектора A1A3:
A1A32-4,8-4,4-10=(-2,4,-6)
Тогда найдём векторное произведение векторов:
A1A2×A1A3=ijk06-8-24-6=i*6-84-6-j*0-8-2-6+k*06-24=i*6*-6-4*-8-j*0*-6--2*-8+k*0*4--2*6=i*-36+32-j*0-16+k*0+12=-4i+16j+12k
Тогда искомая площадь грани равна:
SA1A2A3=12*A1A2×A1A3=12*-42+162+122=12*16+256+144=12*416≈10,198
5) Найдём объём пирамиды, получим:
V=16*06-8-24-652-6=16*0*4*-6+6*-6*5+-8*-2*2-5*4*-8-2*-6*0--6*-2*6=16*0-180+32+160-0-72=16*-60=16*60=10
6) Найдём каноническое уравнение прямой, как уравнение прямой, проходящей через две точки, получим:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
x-44-4=y-410-4=z-102-10
x-40=y-46=z-10-8
7) Найдём уравнение плоскости (грани) A1A2A3:
x-4y-4z-1006-8-24-6=0
Раскроем определитель:
x-4y-4z-1006-8-24-6=x-4*6-84-6-y-4*0-8-2-6+z-10*06-24=x-4*6*-6-4*-8-y-4*0*-6--2*-8+z-10*0*4--2*6=x-4*-36+32-y-4*0-16+z-10*0+12=x-4*-4-y-4*-16+z-10*12=-4x+16+16y-64+12z-120=0
-4x+16y+12z-168=0
-x+4y+3z-42=0
8) Искомое уравнение запишется следующим образом:
x-9-1=y-64=z-43
Чертёж пирамиды представим на Рисунке 1:
Рисунок 1-Чертёж.
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
