Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

1. Найти длину ребра А1 А2.
A1A2=0-42+7-22+2-52=16+25+9=50=52ед
2. Найти угол между ребрами А1 А2 и А1 А4., отсюда , где и .
A1A2=0-4;7-2;2-5=-4;5;-3 и
A1A4=1-4;5-2;0-5=-3;3;-5
cosφ=-4∙-3+5∙3+-3∙-5-42+52+-32∙-32+32+-52=
=4250∙43=4252∙43=42586=42865∙86=2186215
Значит ∠φ=arccos2186215
3. Угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3 вычисляется по формуле: , где направляющий вектор прямой А1 А4, а - нормальный вектор плоскости (А1 А2
A1A4=-3;3;-5
Составим уравнение плоскости (А1 А2 А3).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки
А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2) и А3 (0; 2; 7) имеет вид:
x-4y-2z-50-47-22-50-42-27-5=0; x-4y-2z-5-45-3-402=0;
x-4∙5-302-y-2∙-4-3-42+z-5∙-45-40=0;
x-4∙5∙2-0∙-3-y-2∙-4∙2--4∙-3+
+z-5∙-4∙0--4∙5=0;
10x-4+20y-2+20z-5=0 (разделим на 10)
x-4+2y-2+2z-5=0;
x-4+2y-4+2z-10=0;
x+2y+2z-18=0- уравнение плоскости А1 А2 А3.
n=1;2;2- нормальный вектор плоскости А1 А2 А3.
sinφ=1∙-3+2∙3+2∙-512+22+22∙-32+32+-52=-79∙43=7343=
=7433∙43=743129 , отсюда ∠φ=arcsin743129.
4 . Найти площадь грани А1 А2 А3.
Найдем векторное произведение векторов A1A2=-4;5;-3 и
A1A3=0-4;2-2;7-5=-4;0;2
Sпараллелограмма,
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е