Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

Построим пирамиду A1A2A3A4и отметим на ней используемые векторы
-381013843000
а) Для вычисления угла между векторами A1A2 и A1A4 найдем эти векторы, вычитая из координат конца каждого вектора соответствующие координаты начала:
A1A2=1-2;2--1;-1-2=-1;3;-3,
A1A4=-4-2;2--1;5-2=-6;3;3.
Вычислим длины векторов:
A1A2=-12+32+-32=19;
A1A4=-62+32+32=36
Скалярное произведение A1A2∙A1A4 получим как сумму произведений соответствующих координат:
A1A2∙A1A4=-1∙-6+3∙3+-3∙3=6
Определяем косинус угла между векторами
cosφ=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4=619∙36=11457≈0,187
φ≈40,46о.
б) Длина векторного произведения n= A1A2× A1A3 равна площади параллелограмма, построенного на векторах A1A2и A1A3, поэтому площадь треугольникаA1A2A3 равна
S∆A1A2A3=12A1A2× A1A3
Координаты вектора n
n=A1A2× A1A3=ijk-13-313-1=i-3+9-j1+3+k-3-3=
=6i-4j-6k.
S∆A1A2A3=12A1A2× A1A3=1262+-42+-63=1236+16+36=
=22≈4,69ед2.
в) Объем пирамиды, построенной на векторах A1A2, A1A3, A1A4, равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах . Объем параллелепипеда, построенного на векторах, равен абсолютной величине смешанного произведения A1A2∙ A1A3∙ A1A4 . Таким образом, находим объем пирамиды A1A2A3A4
A1A2=-1;3;-3,
A1A3=1;3;-1.
A1A4=-4-2;2-(-1);5-2=-6;3;3
VA4=16A1A2∙ A1A3∙ A1A4=16-13-313-1-633=
=16-1∙3-133-3∙1-1-63-3∙13-63=
=16-1∙12-3∙-3-3∙21=16-12+9-63=666=11ед3∙
г) На искомой плоскости (A1A2A3) возьмем произвольную точку M( x; y;z) Векторы A1M , A1A2 , A1A3 компланарны