Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

Координаты векторов.
A1A2=6;9;4-4;6;5=2;3; -1
A1A3=2;10;10-4;6;5=-2; 4; 5
A1A4=7;5;9-4;6;5=3; -1; 4
1) длину ребра A1A2
A1A2=22+32+-12=14
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4
Угол между векторами можно найти по формуле:
cosB=A1A2*A1A4A1A2*A1A4Найдем угол между ребрами A1A22;3; -1 и A1A43; -1; 4:
A1A4=32+-12+42=26
cosα=2*3+3*-1+-1*414*26≈-0.052
α=arccos-0.052≈1.623
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2Уравнение плоскости A1A2A3: 19x-8y+14z-98=0
Уравнение прямой A1A4:
x-43=y-6-1=z-54
sinγ=19*3-8*-1+14*4192+-82+142*32+-12+42=0.952
γ =arcsin0.952=1.2597
4) площадь грани A1A2A3
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12*A1A2*A1A3
A1A2*A1A3=ijk23-1-245=i*3*5-4-1- j*2*5--2*-1+ k*2*4--2*3= 19i - 8j + 14k
A1A2*A1A3=192+-82+142=621
S=12*A1A2*A1A3=6212=3269
5) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах A1A2x1;y1;z1, A1A3x2;y2;z2, A1A4x3;y3;z3 равен:
V=16*x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V=16*23-1-2453-14=16*2*4*4--1*5--2*3*4--1*-1+3*3*5-4*-1=1216
6) уравнения прямой A1A2
Прямая, проходящая через точки A1x1; y1; z1 и A2x2; y2; z2, представляется уравнениями:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Уравнение прямой A1A22;3; -1
x-42=y-63=z-5-1
7) уравнение плоскости A1A2A3
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A3x3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-4y-6z-523-1-245=0
x-4*3*5-4*-1- y-6*2*5--2*-1+ z-5*2*4--2*3= 19x-8y-14z-98=0
8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3
Прямая, проходящая через точку A4x4;y4;z4 и перпендикулярная плоскости Ax+By+Cz+D=0 имеет направляющий вектор A;B;C и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 19x-8y-14z-98=0
x-x4A=y-y4B=z-z4C
x-719=y-5-8=z-914
Сделаем чертеж