Даны четыре вектора a1 a2 a3 и a4 в некотором базисе

Составим определитель из координат векторов a1, a2, a3 и вычислим его:
△=105327509=1*2*9-0*7-0*3*9-5*7+5*3*0-5*2=-32
Так как △≠0, то векторы a1, a2, a3 линейно независимы и образуют базис.
Разложение вектора по векторам базиса имеет вид
a4=x1a1+x2a2+x3a3
где x1,x2,x3 – координаты вектора a4. Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:
x1+5x3=0,3x1+2x2+7x3=4,5x1+9x3=16.
Решим систему по правилу Крамера . Главный определитель системы
△=105327509=1*2*9-0*7-0*3*9-5*7+5*3*0-5*2=-32≠0
В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=△1△, x2=△2△,x3=△3△,
где △ – определитель системы, а △i – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, свободными членами (i=1,2,3).
Определитель системы нам известен, вычислим определители:
△1=0054271609=0*2*9-0*7-0*4*9-16*7+5*4*0-16*2=-160
△2=1053475169=1*4*9-16*7-0*3*9-5*7+5*3*16-5*4=64
△3=1003245016=1*2*16-0*4-0*3*16-5*4+0*3*0-5*2=32
Отсюда
x1=△1△=-160-32=5, x2=△2△=64-32=-2,x3=△3△=32-32=-1.
Решение системы x1=5, x2=-2,x3=-1 образует совокупность координат вектора a4 в базисе a1, a2, a3, т.е